偏微分

Keywords:

Introduction

ここでは，物理を学ぶ上では必須となる，偏微分について，図を用いてわかりやすく解説する。決して難しい概念ではないため，構えずにリラックスして読んでもらいたい。

微分の復習

『微分の基礎』で説明したように，変数 $x$ が増加したときの関数 $f (x)$ の増分は

\begin{array}{r} (1) & d f = \frac{d f}{d x} d x \end{array}

と書かれた。ここで

\begin{aligned} (2) & \frac{d}{d x} f (x) = & lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \end{aligned}

である。

偏微分

では， $x$ と $y$ という2変数の関数 $f (x, y)$ の場合はどうか。このような関数の変化は

\begin{array}{r} (3) & d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y \end{array}

と書かれる。このように，1次までの近似（ $d x$ や $d y$ の2乗の大きさ以降を無視する近似）で変化分を表したのを，全微分という。ここで $d x$ の係数は

\begin{aligned} (4) & \frac{\partial}{\partial x} f (x, y) \equiv & lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x, y) - f (x, y)}{Δ x} \end{aligned}

で定義され，関数 $f$ の $x$ に関する偏導関数と呼ばれる。また，偏導関数を求める操作を偏微分という。このとき，変数 $y$ は固定した定数として扱われる。 $d y$ の係数も同様に

\begin{aligned} (5) & \frac{\partial}{\partial y} f (x, y) \equiv & lim_{Δ y \to 0} \frac{f (x, y + Δ y) - f (x, y)}{Δ y} \end{aligned}

で， $x$ を固定した $f$ の導関数であり， $y$ に関する偏導関数と呼ばれる。 ( $3$ )のイメージは，以下の図1を参照。

図1：全微分のイメージ。

(\partial f (x, y) / \partial y)

と

(\partial f (x + Δ x, y) / \partial y)

の置き換えについては，文末を参照。

具体的な関数において，一方の変数を固定するということをイメージするには，図2を見てもらいたい。図では $f (x, y) = - x^{2} - y^{2}$ という関数について， $y = y_{0}$ を固定したときの， $x$ 方向の $f$ の傾きを表している。この例から， $x$ を固定した場合や，別の形の関数の場合もイメージしやすくなるだろう。

図2：他の変数を固定して微分するということのイメージ

偏微分のこれらの議論は，変数が2つの場合だけではなく，任意の個数の場合にも一般化される。独立変数が $(x_{1}, . . . x_{n})$ と $n$ 個ある場合，( $3$ )に対応する式は

\begin{array}{r} (6) & d f = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}} d x_{2} + . . . + \frac{\partial f}{\partial x_{n}} d x_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} d x_{i} \end{array}

となる。

表記

偏微分の表記として，

\begin{array}{r} (7) & {(\frac{\partial f (x, y)}{\partial x})}_{y} \end{array}

のように，固定する変数を明示されることもある。特に，独立変数の取り方が自明でない場合などには，このような表記がなされることが多い。

また，省略形として

\begin{aligned} f_{x} = & \frac{\partial f}{\partial x}, \\ (8) & f_{x x} = & \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \\ f_{x y} = & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \end{aligned}

などが用いられることもある。二つ目以降は二階の偏微分であり，最後の例は $x$ および $y$ でそれぞれ他の変数を固定しながら微分するという意味である。

例題

最後に，いくつか例題を示そう。

Q. $f (x, y) = - x^{2} - y^{2}$ を $x$ で偏微分してみよう。

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} f (x, y) = & - \frac{\partial}{\partial x} (x^{2}) - \frac{\partial}{\partial x} (y^{2}) \\ = & - 2 x \end{aligned}

Q. $f (x, y) = x^{2} y$ を $x$ および $y$ で順に偏微分してみよう。

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} y) = & 2 x y \\ \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} (x^{2} y) = & \frac{\partial}{\partial y} (2 x y) \\ = & 2 x \end{aligned}

Q. 最後に，図1にある

\begin{array}{r} (9) & \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} ≃ \frac{\partial f (x + Δ x, y)}{\partial y} \end{array}

の正当性を示そう。

A. これらの二つの関数の差を取ると

\begin{array}{r} \frac{\partial f (x + Δ x, y)}{\partial y} - \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} = \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial x \partial y} Δ x \end{array}

となり， $Δ x \to 0$ の極限で

\begin{array}{r} \frac{\partial f (x + Δ x, y)}{\partial y} d y = \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} d y + \frac{\partial^{2} f (x, y)}{\partial x \partial y} d y d x \end{array}

と微小量の2次の違いしかなくなるため，1次近似( $3$ )に入れたとき，( $9$ )の間で置き換えが可能になる。