面積分・体積分

Keywords:

Introduction

ここでは，図形の面積や体積を求める積分方法と，関数の面積分・体積分について解説する。

面積計算

面積要素

任意の曲線の長さ $l$ は， $N$ 個の微小な線分 $Δ l_{i}, (i = 1, 2, . . ., N)$ に分割して

\begin{array}{r} (1) & \sum_{i = 1}^{N} Δ l_{i} \end{array}

と，和を取り，分割数を無限にする極限 $N \to \infty$ を取ることで

\begin{array}{r} (2) & l = lim_{N \to \infty} \sum_{i = 1}^{N} Δ l_{i} = \int d l \end{array}

と求められるのであった（『線積分』参照）。同様の考え方により，平面上の任意の面積 $S$ が，微小な面積 $Δ S_{i}$ を用いて

\begin{array}{r} (3) & \sum_{i = 1}^{N} Δ S_{i} \end{array}

とし，分割数を無限にする極限により

\begin{array}{r} (4) & S = lim_{N \to \infty} \sum_{i = 1}^{N} Δ S_{i} = \int_{S} d S \end{array}

と求められる。この $d S$ を面積要素（surface element）という。

容易な例として，直線直交座標系を取り，原点から $x$ 軸方向に長さ $a$ ， $y$ 軸方向に長さ $b$ を持つ長方形の面積の計算を考えてみる。このとき，面積要素は $d x d y$ と表せるから総面積は

\begin{array}{r} (5) & \int_{0}^{b} d y \int_{0}^{a} d x = a \int_{0}^{b} d y = a b \end{array}

と計算できる。

極座標と円や球の表面積

今度は円の面積を考えてみよう。この例では，直線直交座標系を取るのではなく，極座標（polar coordinates）と呼ばれる別の座標を選択したほうが計算が楽になる。位置 $(x, y)$ は，原点からの距離 $r$ と偏角 $θ$ を用いて

\begin{aligned} (6) & x = & r \cos θ \\ (7) & y = & r \sin θ \end{aligned}

で表せるから， $(r, θ)$ によって位置を指定することもできる（三角関数の復習はコチラから）。この変数の組を平面極座標という。直線直交座標系とは異なり，この座標系での面積要素は，単に独立変数の微小量の積 $d r d θ$ とはならない（そもそも $θ$ は無次元なので $d r d θ$ は面積の次元になっていない）。

正しい面積要素は以下のように求められる。半径 $r$ の円は， $r$ 方向， $θ$ 方向に分割すると，図1の点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ で囲まれたような図形の集まりに分けられる。孤 $C D$ の長さは $(r + Δ r) Δ θ$ であり，これに $Δ r$ をかけたものは $Δ r (r + Δ r) Δ θ$ となる。そのため， $Δ r$ ， $Δ θ$ を微小に取った場合，孤 $A B$ の長さ $r Δ θ$ に幅 $Δ r$ をかけたものとの差は $Δ$ の3次の量となり，無視できる。すなわち，面 $A B C D$ の面積は底辺 $Δ r$ ，高さ $r Δ θ$ の長方形の面積で近似できる。この面積は，図中に青色で示した長方形の面積に対応する。

図1：平面極座標における面積要素のイメージ

よって， $Δ r$ ， $Δ θ$ をそれぞれ無限小にとってやれば，平面極座標系での面積要素が

\begin{array}{r} (8) & d S = r d r d θ \end{array}

と得られる。一般的な説明は別でするが，ここで( $8$ )に $d r d θ$ との差異として含まれる $r$ は，座標変換一般の文脈でJacobianと呼ばれる量に対応する。 ( $8$ )を用いると，円の面積が直ちに

\begin{array}{r} (9) & \int_{0}^{r} r d r \int_{0}^{2 π} d θ = \frac{r^{2}}{2} \times 2 π = π r^{2} \end{array}

と得られる。

この手法は平面だけでなく，3次元中の曲面の計算にも用いることができる。例として，球の表面積を求めてみよう。この場合も，座標は極座標を用いるのが都合がいい。 3次元では，位置 $(x, y, z)$ はもう1つ角度変数 $ϕ$ を追加して

\begin{aligned} (10) & x = & r \sin θ \cos ϕ \\ (11) & y = & r \sin θ \sin ϕ \\ (12) & z = & r \cos θ \end{aligned}

で指定できる（図2左）。このとき，球の面積要素は

\begin{array}{r} (13) & d S = r^{2} \sin θ d θ d ϕ \end{array}

で与えられる（図2右）。

図2：直線直交座標 $(x, y, z)$ と3次元極座標との対応（左）および3次元極座標における面積要素のイメージ

これを， $θ$ 方向に $0$ から $π$ ， $ϕ$ 方向に $0$ から $2 π$ まで積分する。

\begin{array}{r} (14) & S = r^{2} \int_{0}^{π} \sin θ d θ \int_{0}^{2 π} d ϕ \end{array}

$ϕ$ についての積分からはそのまま $2 π$ が得られ， $θ$ についての積分は

\begin{array}{r} (15) & \int_{0}^{π} \sin θ d θ = {- \cos θ |}_{0}^{π} = 2 \end{array}

となるから，半径 $r$ の球の表面積が

\begin{array}{r} (16) & S = 4 π r^{2} \end{array}

と得られる。

体積計算

前節の議論は，3次元空間中の体積計算にも拡張できる。 ( $4$ )に対応するのは，求める体積を $V$ とすると

\begin{array}{r} (17) & V = lim_{N \to \infty} \sum_{i = 1}^{N} Δ V_{i} = \int_{V} d V \end{array}

となる。面積分における面積要素に対応する微小体積 $d V$ は体積要素（volume element）と呼ばれる。

例として今度は球の体積を求めてみる。体積要素は球の面積要素( $13$ )に厚み $d r$ を持たせて

\begin{array}{r} (18) & r^{2} d r \sin θ d θ d ϕ \end{array}

とできる。これを積分したものは，( $16$ )を $r$ 方向に積分したものに等しく，半径 $r$ の球の体積が

\begin{array}{r} (19) & V = 4 π \int r^{2} d r = \frac{4}{3} π r^{3} \end{array}

と求まる。

面積分・体積分

ここまでの考えを利用すると，ある関数 $f$ の面 $S$ および積分 $V$ に渡る積分をそれぞれ

\begin{array}{r} (20) & \int_{S} f d S \end{array}

および

\begin{array}{r} (21) & \int_{V} f d V \end{array}

で計算することができる。これらをそれぞれ，関数 $f$ の面積分（surface integral）および体積分（volume integral）という。

また，面から流出（または流入）するエネルギーや物質の量を計算したい時など，方向を含めた積分値が知りたい時もある。その場合，計算したいベクトル量を $A$ ，面と垂直で外向きの単位ベクトルを $n$ とすると，求める量は

\begin{array}{r} (22) & \int_{S} A \cdot n d S \end{array}

で計算できる。あるいはこの方向の情報を面積要素に含めて $d S = n d S$ とし

\begin{array}{r} (23) & \int_{S} A \cdot d S \end{array}

と表すこともできる。

面積分の例

面積分の例として，次のような問題を考えてみる。

Q. 半径 $a$ の円盤上に電荷が面密度（単位面積当たりの密度） $σ$ で一様に分布しているとき，円盤中心上で面から垂直に $z$ 離れた位置でのスカラーポテンシャルを求めよ（下図参照）。

A. 円盤中心からの径座標を $ρ$ とすると，( $8$ )より，微小面積 $d s$ 上の電荷は $σ ρ d ρ d θ$ であるため，その微小面から受けるポテンシャルは

\begin{array}{r} (24) & \frac{σ}{4 π ϵ_{0}} \frac{ρ d ρ d θ}{r} \end{array}

とおける。これを $ρ$ と $θ$ について積分したものが求める答えだ。

まずこの中に $θ$ それ自体以外に $θ$ に依存する量はないため， $θ$ 積分は容易に実行できて

\begin{array}{r} (25) & \frac{σ}{4 π ϵ_{0}} \int_{0}^{a} \frac{ρ d ρ}{r} \int_{0}^{2 π} d θ = \frac{σ}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{2 π ρ d ρ}{r} \end{array}

となる。残るのは $ρ$ についての積分だが，三平方の定理より $r = \sqrt{z^{2} + ρ^{2}}$ であるから積分は

\begin{array}{r} (26) & \frac{σ}{4 π ϵ_{0}} \int_{0}^{a} \frac{2 π ρ d ρ}{\sqrt{z^{2} + ρ^{2}}} \end{array}

と変形できる。ここで

\begin{array}{r} (27) & \frac{d}{d ρ} (z^{2} + ρ^{2})^{1 / 2} = \frac{1}{2} (z^{2} + ρ^{2})^{- 1 / 2} \frac{d}{d ρ} ρ^{2} = \frac{ρ}{\sqrt{z^{2} + ρ^{2}}} \end{array}

を用いると $ρ$ 積分はスムーズに実行でき

\begin{array}{r} (28) & ϕ = \frac{σ}{4 π ϵ_{0}} \int_{0}^{a} \frac{2 π ρ d ρ}{\sqrt{z^{2} + ρ^{2}}} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} (\sqrt{z^{2} + a^{2}} - z) \end{array}

と答えが得られる。