$SU(2)$のLie代数と既約表現

Keywords:

Introduction

ここでは，2次の特殊ユニタリ群 $S U (2)$ のLie代数について考える。これは，特殊線形群のうち，ユニタリ行列からなる群のこと，すなわち $2 \times 2$ のユニタリ行列で，行列式が $1$ であるものの集合

\begin{array}{r} (1) & S U (2) = {U \in M (2, C) | det U = 1, U U^{†} = U^{†} U = 1} \end{array}

のことである（ $M (2, C)$ は2次の複素正方行列の集合）。

自由度

$2 \times 2$ の複素行列は， $2 \times 2 = 4$ つの成分を持ち，各成分が複素数であるためその倍 $4 \times 2 = 8$ の自由度がある。しかし，ユニタリ条件

\begin{array}{r} (2) & U^{†} U = U U^{†} = 1 \end{array}

が成分1つずつに条件を課すから，自由度は $8 - 4 = 4$ に減る。さらに， $det U = 1$ の条件が自由度を1つ減らすから，結局 $S U (2)$ の自由度は $4 - 1 = 3$ となる。

行列 $U$ を

\begin{array}{r} (3) & U = e^{i X} = e^{i \sum_{i = 1}^{3} t_{i} X_{i}} \end{array}

と表すと，( $2$ )より

\begin{array}{r} (4) & X^{†} = X \end{array}

となる。すなわち，ユニタリ群の生成元はエルミートである。

また， $S U$ の場合は

\begin{array}{r} (5) & det U = \exp [tr (i X)] = 1 \end{array}

より， $X$ がトレースレスである条件

\begin{array}{r} (6) & tr (X) = 0 \end{array}

が加わる。

Lie代数

上述の条件を満たす生成子の基底として

\begin{array}{r} (7) & X_{i} = J_{i} = \frac{1}{2} σ_{i}, (i = 1, 2, 3) \end{array}

が選べる。ここで

\begin{array}{r} (8) & σ_{1} = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}), σ_{2} = (\begin{array}{cc} 0 & - i \\ i & 0 \end{array}), σ_{3} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) \end{array}

であり，交換関係は

\begin{array}{r} (9) & [J_{i}, J_{j}] = i \sum_{k} ϵ_{i j k} J_{k} \end{array}

となる。

Cartan部分代数

( $9$ )より， $g = su (2)$ の可換な元は $J_{i}$ それ自身のみであるから，Cartan部分代数の階数は1になる。これを $H = J_{3}$ と選ぼう。すなわち， $h = {J_{3}}$ である。

このとき，( $9$ )より $H = J_{3}$ の随伴表現は

\begin{array}{r} (10) & ad (J_{3}) = (\begin{array}{ccc} 0 & i & 0 \\ - i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}

で与えられ，固有方程式は

\begin{array}{r} (11) & det (ad (J_{3}) - α I) = α (α^{2} - 1) = 0 \end{array}

となるから，ウェイトは $α = \pm 1$ となる。このように $h^{*}$ も1次元になるが，便宜のために添え字をつけて $α_{3}$ と表すようにしよう。

$\pm α_{3}$ に対応する固有ベクトル $E_{\pm α}$ はそれぞれ

\begin{array}{r} (12) & E_{\pm} = \frac{1}{2} (J_{1} \pm i J_{2}) \end{array}

によって構成できる。これらは交換関係

\begin{array}{r} (13) & [J_{3}, J_{\pm}] = \pm J_{\pm}, [E_{+}, E_{-}] = \frac{J_{3}}{2} \end{array}

を満たす。ここで

\begin{array}{r} (14) & J_{\pm} \equiv \sqrt{2} E_{\pm} \end{array}

と規格化しなおせば，標準基底の交換関係

\begin{array}{r} (15) & [J_{3}, J_{\pm}] = \pm J_{\pm}, [J_{+}, J_{-}] = J_{3} \end{array}

を満たすようにできる。

最高ウェイト

関係

\begin{array}{r} (16) & \frac{2 (α_{i}, μ_{j})}{(α_{i}, α_{i})} = δ_{i j} \end{array}

を用いて基本ウェイトを求めよう。今のケースでは1成分しかないから，対応する式は

\begin{array}{r} (17) & \frac{2 (α_{3}, μ_{3})}{(α_{3}, α_{3})} = 1 \end{array}

である。

Cartan計量は

\begin{aligned} (18) & g_{33} = & tr (ad (J_{3}) ad (J_{3})) = tr (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}) = 2 \end{aligned}

と求められるから，この逆は

\begin{aligned} (19) & g^{33} = & (g_{33})^{- 1} = \frac{1}{2} \end{aligned}

となり

\begin{array}{r} (20) & (α_{3}, α_{3}) = g^{33} α_{3} α_{3} = \frac{1}{2} \end{array}

とわかる。

これより

\begin{array}{r} (21) & \frac{2 (μ, α)}{(α, α)} = \frac{2 g^{33} μ_{3} α_{3}}{g^{33} α_{3} α_{3}} = 2 α_{3} μ_{3} = 1 \end{array}

であるから，基本ウェイト $μ_{3}$ が

\begin{array}{r} (22) & μ_{3} = \frac{1}{2} \end{array}

と求まる。

すなわち，基本表現の最高ウェイトは $1 / 2$ であり，任意の最高ウェイトはこれに0以上の整数をかけたものであるから，それを $j$ と記すと， $j$ の値は

\begin{array}{r} (23) & j = n / 2, n = 0, 1, 2, 3, . . . \end{array}

に限られる。

基本表現 $n = 1 (j = 1 / 2)$ の場合は最高ウェイトに対応する状態 $| j ⟩$ に下降演算子 $J_{-}$ を1回作用すると最低ウェイト $j - 1 = - 1 / 2$ が得られて， $n = 2 (j = 1)$ の場合は2回作用することで $j - 2 = - 1$ が得られる。すなわち，一般に最高ウェイト状態に $J_{-}$ を $n$ 回作用すると，最低ウェイト $j - n = - j$ が得られる。これよりウェイトの総数が $2 j + 1$ 個であるとわかり，この数が既約表現の次元となる。

昇降演算子の行列要素

今考えているケースでは，昇降演算

\begin{array}{r} (24) & J_{\pm} | m ⟩ = \sqrt{2} N_{\pm α_{3}, m} | m \pm 1 ⟩ \end{array}

に現れる係数，すなわち昇降演算子 $J_{\pm}$ の行列要素 $N_{α_{3}, m}$ を与える公式は

\begin{array}{r} (25) & | N_{α_{3}, m} |^{2} = p (q + 1) \frac{(α_{3}, α_{3})}{2} = \frac{1}{4} p (q + 1) \end{array}

であり

\begin{array}{r} (26) & m + p α_{3} = j, m - q α_{3} = - j \end{array}

より

\begin{array}{r} (27) & | N_{α_{3}, m} |^{2} = \frac{1}{4} (j - m) (j + m + 1) \end{array}

である。

References

Arvanitogeōrgos, A. (2003). An Introduction to Lie groups and the Geometry of Homogeneous Spaces. American Mathematical Society.

Bincer, A. M. (2013). Lie Groups and Lie Algebras: A Physicist's Perspective. Oxford University Press.

Das, A., & Okubo, S. (2014). Lie Groups and Lie Algebras for Physicists. World Scientific.

Georgi, H. (2018). Lie Algebras in Particle Physics: From Isospin to Unified Theories. CRC Press.

Knapp, A. W. (1996). Lie groups beyond an introduction. Birkhäuser.

佐藤肇. (2000). リー代数入門: 線形代数の続編として. 裳華房.

島和久. (1981). 連続群とその表現. 岩波書店.