Cartan部分代数とルート

Cartan部分代数

Lie代数の可換な部分Lie代数$\mathfrak{h}$があり，そのすべての元と可換な$X$は，$\mathfrak{h}$の元にかならず含まれているとき，$\mathfrak{h}$は極大（maximal）であるという。 形式的に述べ直すと次のようになる：

複素半単純Lie代数$\mathfrak{g}$の中から，互いに可換でエルミートな元

を選ぶことができる。 このような元からなる部分代数のうち，次元$l$が最大のもの，すなわち極大なもの$\mathfrak{h}$を，Cartan部分代数（Cartan subalgebra）という。 Cartan部分代数の構成には任意性があるが，互いに同型な写像で移り合えるので，1つのLie代数に対し本質的にはただ1つのCartan部分代数が定まる。 Cartan部分代数の次元$l$をLie代数$\mathfrak{g}$の階数（rank）という。

ルート

随伴表現の性質より，各$H_i$について可換

であるから，同時に対角化可能であり，Hermitian

であるから固有値は実数である。 すなわち，$l$個の実数固有値を$a_i$とし，固有値方程式

が成り立つ。

($\text{4}$)において$l$個の$H_i$に対応し，$l$個の固有値$a_i$がある。 これら$a_i$は，$\mathfrak{h}$の双対空間${\mathfrak{h}}^{\ast }$の元を，基底${\mathit{e}}^i$を用いて

と展開した時の係数に対応する。 この$\alpha$のうち，ゼロでないものをルート（root）という。 この関係については以下で内積を導入したのちに再び議論する

特定のルート$\alpha =\sum _i{a}_i{\mathit{e}}^i$に対し($\text{4}$)を満たす$X\in \mathfrak{g}$を，$E_{\alpha }$と表す。 すなわち

である。 この式を満たすために，$E_{\alpha }$には定数倍の任意性があることに注意しよう。 またこの式のエルミート共役は

であるから，$\alpha$がルートであれば，$-\alpha$もルートであり

が対応する固有ベクトルになることがわかる。

2つのルート

に対し

であるから，$\alpha =-\beta$ のとき

となる。 $[E_{\alpha },E_{-\alpha }]$はすべての$H_i$と交換する$\mathfrak{g}$の元であるから，すなわち$\mathfrak{h}$の元であり

と表すことができる。

Killing形式とCartan計量

$\mathfrak{h}$と${\mathfrak{h}}^{\ast }$，したがって$a_i$と$a^i$を関係づける計量を定義しよう。 $H_{\alpha },H_i$のKilling形式を計算してみると

となる。 他方，同じ量は

でもあり，適当な規格化によって

とできるから，$H_i,H_j$のKilling形式

が計量テンソルの役割を果たし

が成り立つ。 ここで，($\text{16}$)をCartan計量（Cartan metric）という。 これを用いると，$\mathfrak{h}$上の内積を

と定義することができる（$\mathfrak{h}$上でKilling形式が非退化になることについては『ルートの性質』を参照）。

ルート（再）

内積が定義できたので，これを利用して再び$\mathfrak{h}$と${\mathfrak{h}}^{\ast }$およびルートの関係を整理しておこう。 基底$\{H_i\}$の同時固有ベクトルを$X$とすると，($\text{4}$)より何らかの$H=\sum _i{a}^i{H}_i\in \mathfrak{h}$について

が成り立つ。 ここで$a^i$は${\mathfrak{h}}^{\ast }$の基底${\mathit{e}}^i$と$H$の内積

で与えられるから

と書き換えられる。 したがって

である。 改めて，すべての$H$について，上の固有値方程式を成り立たせる$\alpha$のうち，ゼロでないものがルートである。