Lie群のLie代数

Keywords:

Introduction

Lie群 $G$ は一般に複雑な構造を持った対象であるが，左移動という微分同相写像のために，その局所的な情報は単位元 $e$ の近傍に集約されている。そのため，接空間を考えるにあたっても， $e$ 上の接空間 $T_{e} G$ が特別な重要性を持つ。特に，Lie群の接空間はベクトル空間であるだけでなく，以下で定義する群のLie代数と呼ばれる構造を持っており，Lie群 $G$ の多くの情報がそこに含まれている。このLie代数の構造もまた， $T_{e} G$ 上に課された構造とみなすことができ，これによりLie群全体の構造を分析するための効率的なアプローチが提供される。

以下， $C^{\infty}$ 級多様体を念頭に議論するため，特に断りのない限り，多様体という言葉は $C^{\infty}$ 級多様体を指すものとする。また，Einsteinの規約に従い，上下繰り返しの添え字は和を取ることとする（ $\partial_{i} \equiv \partial / \partial x^{i}$ は右辺の表現でも下付きとみなす）。

Lie代数

Lie群 $G$ 上の任意の不変ベクトル場 $X, Y$ は，任意の $a, b \in R$ に対し

\begin{array}{r} (1) & {(a X + b Y) |}_{g} = {a X |}_{g} + {b Y |}_{g}, \forall g \in G \end{array}

を満たす。つまり， $G$ 上の不変ベクトル場全体の集合もまたベクトル場を構成する。このベクトル場を $g$ と記す。

以下で示すように， $g$ の任意の2元 $X, Y \in g$ からなるLie括弧 $[X, Y] = X Y - Y X$ は

\begin{array}{r} (2) & L_{g *} [X, Y]_{h} = [X, Y]_{g h} \end{array}

を満たすから， $[X, Y] \in g$ であり， $g$ はLie括弧に関して閉じている。 $g$ とそのLie括弧 $[,] : g \times g \to g$ を合わせて，Lie群 $G$ のLie代数（Lie algebra）という。

$g$ の任意の元，つまり $G$ 上の不変ベクトル場 $X$ が与えられたとき，その $e$ 上での値 ${X |}_{e}$ がわかれば

\begin{array}{r} (3) & {X |}_{g} = L_{g *} {X |}_{e} \end{array}

によって任意の点上の値もわかるから，左不変ベクトル場は $e$ での値によって決定される。反対に， $e$ 上の接空間 $T_{e} G$ の元 $v$ が与えられると， $L_{g *} v = X^{v} |_{g}$ によって ${X^{v} |}_{e} = v$ となる左不変ベクトル場 $X^{v}$ を定義できる。したがって， $g$ と $T_{e} G$ は1対1に対応付けられる。これより，Lie代数の次元は，Lie群 $G$ の次元と一致する。

この1対1対応があるため，Lie代数の構造を調べるにあたっても， $e$ 上での構造がわかればいい。

構造定数

単位元 $e$ 上の接空間 $T_{e} G$ の基底を ${V_{i}}_{i = 1}^{n}$ とし，Lie括弧 $[V_{i}, V_{j}]$ を考えると，これも $T_{e} G$ の元であるから，基底 ${V_{i}}_{i = 1}^{n}$ を用いて

\begin{array}{r} (4) & [V_{i}, V_{j}] = f_{i j}^{k} V_{k} \end{array}

と表すことができる。ここに現れる係数 $f_{i j}^{k}$ を構造定数（structure constants）という。 Lie群の群構造はこの構造定数によってほぼ決まる。先に述べた事情から構造定数は $g$ に独立な定数である。

実際，基底 ${V_{i}}_{i = 1}^{n}$ から左移動により各 $g \in G$ において ${X_{i} |}_{g} = L_{g *} V_{i}$ となる線形独立なベクトル場の組 ${X_{i}}_{i = 1}^{n}$ が作れる。そして， $[V_{i}, V_{j}] = [X_{i}, X_{j}]_{e} = f_{i j}^{k} {X_{k} |}_{e}$ であるから，( $4$ )を左移動すると，( $3$ )および( $2$ )より

\begin{array}{r} (5) & L_{g *} [X_{i}, X_{j}]_{e} = [X_{i}, X_{j}]_{g} = f_{i j}^{k} {X_{k} |}_{g} \end{array}

となり， $f_{i j}^{k}$ は $g$ によらない定数でないといけないことが確認できる。

式( $2$ )の証明

定義： 多様体 $M$ から $M^{'}$ への滑らかな（ $C^{\infty}$ 級）写像 $φ$ があり， $M$ 上のベクトル場 $X$ と $M^{'}$ 上のベクトル場 $X^{'}$ が，任意の $p \in M$ に関して

\begin{array}{r} (6) & φ_{*} X_{p} = X_{φ (p)}^{'} \end{array}

を満たすとき，ベクトル場 $X$ と $X^{'}$ は $φ$ -関係（ $φ$ -related）にあるという。

補題： $M$ 上のベクトル場 $X$ と $M^{'}$ 上のベクトル場 $X^{'}$ が $φ$ -関係にあるとき， $M^{'}$ 上の滑らかな写像 $f$ と，任意の $p \in M$ に対して

\begin{array}{r} (7) & (X^{'} f) \circ φ = X (f \circ φ) \end{array}

が成り立つ。

proof

$φ$ -関係にあるという仮定より
$\begin{array}{r} (8) & φ_{*} (X_{p} f) = X_{φ (p)}^{'} f \end{array}$
である。
微分 $φ_{*}$ の定義と $X_{p} (f) = (X f) (p)$ より，左辺は
$\begin{array}{r} (9) & X_{p} (f \circ φ) = (X (f \circ φ)) (p) \end{array}$
右辺は
$\begin{array}{r} (10) & (X^{'} f) (φ (p)) = (X^{'} f) \circ φ (p) \end{array}$
である。
$p$ は任意であるから，求める関係が得られる。

□

補題： $M$ 上のベクトル場 $X, Y$ と $M^{'}$ 上のベクトル場 $X^{'}, Y^{'}$ がそれぞれ互いに $φ$ -関係にあるとき，Lie括弧 $[X, Y]$ と $[X^{'}, Y^{'}]$ も $φ$ -関係にある。

proof

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} [X^{'}, Y^{'}]_{φ (p)} f = & X_{φ (p)}^{'} (Y^{'} f) - Y_{φ (p)}^{'} (X^{'} f) \\ = & X_{p} ((Y^{'} f) \circ φ) - Y_{p} ((X^{'} f) \circ φ) \\ = & X_{p} (Y (f \circ φ)) - Y_{p} (X (f \circ φ)) \\ = & [X, Y]_{p} (f \circ φ) \\ = & φ_{*} [X, Y]_{p} f \end{aligned} \end{matrix}

となり，求める結果が得られる。最初と4つ目の等式はLie括弧の定義，2つ目の等式は $X_{φ (p)}^{'} f = (φ_{*} X_{p}) f = X_{p} (f \circ φ)$ ，3つ目の等式は式( $7$ )： $(X^{'} f) \circ φ = X (f \circ φ)$ ，最後の等式は微分の定義を用いた。

□

さて， $L_{g *} X_{e} = X_{g}$ より，左不変ベクトル場は左移動に関して( $6$ )の関係を満たすから，上の補題より

\begin{array}{r} (12) & L_{g *} [X, Y] = [X, Y] \end{array}

が成り立つ。すなわち，左不変ベクトル場のLie括弧も左不変である。こうして式( $2$ )が示された。

Introduction

Lie代数

構造定数

式(2)の証明

式( $2$ )の証明