ベクトル場のフロー

ScienceTime Team
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ベクトル場のフロー

Introduction

ここでは,多様体上のベクトル場が生成するフローについて説明する。 まず初めにフローの直感的イメージを与え,その後より厳密な定義を示す。

以下,C級多様体を念頭に議論するため,特に断りのない限り,多様体という言葉はC級多様体を指すものとする。 また,Einsteinの規約に従い,上下繰り返しの添え字は和を取ることとする(i/xiは右辺の表現でも下付きとみなす)。

フローのイメージ

c(t)をベクトル場Xに沿った積分曲線とする。 イメージをしやすくするために,パラメータtを「時間」とみなそう。 このとき,多様体M上の任意の点pと任意のtに対し,点pをベクトル場Xの流れに任せたまま「時間」t放置したとき辿り着く先の点に写す写像ϕt:MMを考えることができる。 このϕtの集合{ϕt|tR}を,フロー(flow)と呼ぶ。 以下で,フローについて,もっと形式的な定義と説明を与える。


局所フロー

あるε>0に対しIε=(ε,ε)と,UpMが与えられたとき,任意のs+tIεであるs,tIεpUpに対して

(1)σ(t,ϕ(s,p))=σ(t+s,p),σ(0,p)=p

を満たす連続写像σ:Iε×MMが定義できる。 tを固定すれば

(2)ϕt(p)σ(t,p)

MからMへの微分同相写像となり,s,tおよびs+tIεに含まれるなら

(3)ϕt+s=ϕtϕs

を満たす。 写像ϕtの集合{ϕt|tIε}を,局所フロー(local flow)といい,局所フローによって定義される点の集合{ϕt(p)|tIε}を,点p軌道(orbit)という。

pの軌道は点pを通る曲線であり,その接ベクトル

(4)dϕt(p)dt=vp

の集合はUp上でベクトル場を構成する。 このようなベクトル場をフローϕtによって誘導される(induced)ベクトル場という。


1パラメータ変換群

フローがR全体で定義できるとき,局所フローと区別し,大域フロー(global flow)と呼ばれる。 大域フローの場合,任意のs,tRpMに対して(3)の条件が満たされる。

任意の2元a,bの間にある種の積abが定義され,ae=ea=aを満たす単位元eと,任意の元に対しaa1=a1a=eを満たす逆元a1が存在する集合をというが,フローもまたこれらに対応する条件

  1. ϕt+s=ϕtϕs
  2. ϕ0=idM
  3. ϕt=(ϕt)1

を満たし,群をなすことがわかる。 ここで,idMM上の恒等写像で単位元に対応する。 このことから,大域フローは1パラメータ変換群(1-parameter transformation group)とも呼ばれる。 局所フローの場合もs,tおよびs+tがその定義域Iεに収まる場合に限り群をなし,局所1パラメータ変換群(local 1-parameter transformation group)と呼ばれる。

大域フローはM上にベクトル場を誘導する。 このベクトル場の積分曲線は,定義域をR全体に拡げることができる。 このようなベクトル場を完備(complete)なベクトル場という。


積分曲線の存在と一意性

解の存在定理より,微分方程式

(5)dxi(t)dt=Xi(x1(t),...,xn(t)),(i=1,...,n)

には,初期値を(x1(0),...,xn(0))としたとき,十分小さな正の実数ε>0を取れば,ε<t<εの範囲で一意な解が存在することが保証されている。 解が一意であるということは,初期値を共有する2つの解があり,それぞれの定義域がa<0<bおよびc<0<dだったとすると,互いの定義域の共通部分(a,b)(c,d)で両者は一致するという意味である。

これをベクトル場Xの積分曲線に関する議論に適用すれば,初期値をc(0)=pとし,十分小さな正の実数ε>0を取れば,ε<t<εの範囲で

(6)dc(t)dt=X(c(t))

を満たす一意な積分曲線を決定できると言える。

初期値をpとする積分曲線をc(t,p)と表すことにする。 t=0における点pを初期値とすれば,c(0,p)=pである。 このとき,Iε=(ε,ε)pの開近傍Upに対して

(7)ϕt(p)=c(t,p),tIε

となり,Xを誘導する局所フローが一意に定義できる。 このフロー{ϕt|tIε}X生成(generate)されるフローや,単にXのフローなどという。 このように,ベクトル場の積分曲線を求める問題は,そのベクトル場が生成するフローを求める問題に置き換えることができる。


References

  • Frankel, T. (2011). The geometry of physics: an introduction. Cambridge university press.
  • Hawking, S. W., & Ellis, G. F. R. (1973). The large scale structure of space-time. Cambridge university press.
  • 松本幸夫. (1988). 多様体の基礎. 東京大学出版会.
  • Nakahara, M. (2003). Geometry, topology and physics. CRC Press.
  • Schutz, B. F. (1980). Geometrical methods of mathematical physics. Cambridge university press
    ――(1987). 物理学における幾何学的方法. 家正則 他 訳. 物理学叢書
  • 杉田 勝実, 岡本 良夫 & 関根 松夫. (2007). 理論物理のための 微分幾何学 - 可換幾何学から非可換幾何学へ. 森北出版
  • 山本 義隆 & 中村 孔一. (1998). 解析力学I&II. 朝倉書店.