多様体とは

位相多様体の定義

多様体の形式的な定義は次のように与えられる：

Hausdorff空間とは，どんな異なる2点にも互いに交わらない開集合を取れる位相空間のことをいう。 物理で扱うような空間は，まず自然にHausdorff空間となっているため，あまり気にする必要はない。 より重要なのはEuclid空間に対する写像の方だ。

$U$と，$U$上のこの写像$\varphi$の組$(U,\varphi)$を，座標近傍（coordinate neighborhood）あるいはチャート（chart）という。

任意の$p\in U$が$R^n$の1点に写されるということであるから

と書ける。 この$(x^1,x^2,...,x^n)$を，$(U,\varphi)$に関する$p$の局所座標（local coordinate）という。

座標変換

チャート$(U,\varphi)$は局所的なもので，（局所座標が全体を覆うケースもありうるが）多様体全体は，一般にチャートを張り合わせて構成される。 よって，2つの開集合$U,V$が重なり合う部分$U\cap V$には，2つの異なる写像により，2組の座標が与えられることになる。 $U$には写像$\varphi$，$V$には写像$\psi$があるとし，$(U,\varphi)$に関する局所座標を$(x^1,...,x^n)$，$(V,\psi)$に関する局所座標を$(y^1,...,y^n)$とする。

$(x^1,...,x^n)$を写像$\varphi^{-1}$によって$U \cap V$に戻すと，そこに含まれる対応する1点$p$が得られる。 今度はこの$p$を$\psi$で写すと$(y^1,...,y^n)$が得られるから

が成り立つ（図1）。 (\ref{eq:coord_trns})の写像$\psi \circ \varphi^{-1}$は同相写像の合成であるから同相写像である。 この写像$\psi \circ \varphi^{-1}$を座標変換（coordinate transformation）という。

図1：座標変換のイメージ

(\ref{eq:coord_trns})は，$(y^1,...,y^n)$が決まると$(x^1,...,x^n)$も決まることを，すなわち$(y^1,...,y^n)$が$(x^1,...,x^n)$の関数となっていることを表しているから，2つの局所座標の関係を

と表すことができる。

微分可能多様体

位相空間$M$のチャートが，適当な添え字集合$I$をもって構成する族$\{(U_i, \varphi_i) \ | \ i \in I\}$によって位相空間$M$を綺麗に覆ってしまえる（被覆できる）とき，すなわち

となるとき，このチャートの族をアトラス（atlas）という。

そしてこのアトラスが，任意の$i,j \in I$に対して，座標変換$\varphi_i \circ \varphi_j^{-1}$が$C^r$級であるという条件を満たすとき，$M$は$C^r$級の微分可能多様体（differentiable manifold）と呼ばれる。 ある関数が開集合$U$上で$C^r$級であるとは，$U$上で連続かつ$r$回微分可能であるということである。 無限回微分可能な場合は$C^\infty$級という。