距離空間から位相空間一般へ

Dr. SSS 2021/01/01 - 10:30:51 位相幾何学
はじめに

ここでは,距離空間についての議論を通して導入した諸概念を一般化し,より抽象的で一般的な位相空間の概念を定義する。


keywords: 集合論, Euclid空間, 位相空間, 写像

内容

位相空間とは

ある集合$I$の各元$i$に1つずつ別の集合$X$の各元$x$を対応付けて$x_i$とラベルするとき, 集合$I$を添え字集合という。 集合を元とする集合を,集合族という。

定義:集合$X$に次の性質を持つ部分集合族$\sO$が与えられたとき,$(X,\sO)$の組を位相空間(topological space)という:

  • $U_i,U_j\in \sO$ならば$U_i\cap U_j \in \sO$
  • 任意の集合族$\{U_i\ |\ i \in I\}$について,$U_i \in \sO \ (\forall i \in I)$ならば,$\bigcup_{i \in I} U_i \in \sO$
  • $X \in \sO$かつ$\emptyset \in \sO$

このような$\sO$を$X$の位相(topology)といい,$\sO$に属する$X$の部分集合を$X$の開集合(open set)という。

$x\in X$に対し,$x$を含む$X$の部分集合を$x$の近傍(neighborhood)といい,開集合である近傍を開近傍(open neighborhood)という。 誤解の恐れがない場合は,単に$X$を位相空間と呼ぶことも一般的になされる。


例:通常の位相

Euclid距離によって定義される開集合からなるEuclid空間の位相構造を,通常の位相(standard topology)という。


例:離散位相

位相空間$X$のすべての部分集合を開集合とすると,それらが成す開集合族,すなわち$X$のべき集合(部分集合全体から成る集合)$\mathfrak{B}(X)$は,位相の条件を満たすため,$(X,\mathfrak{B}(X))$は位相空間となる。 このとき$\mathfrak{B}(X)$は離散位相(discrete topology),$(X,\mathfrak{B}(X))$は離散空間(discrete space)と呼ばれる。


例:密着位相

集合$X$に対して$\sO=\{\emptyset, X\}$とする。 この$\sO$は上の条件を満たすため,$(X,\sO)$は位相空間となる。 この位相を自明な位相 (trivial topology)あるいは密着位相 (indiscrete topology)といい,この位相を持つ位相空間を密着空間(indiscrete space)という。 ただ,この自明な位相は自明すぎて興味深い結果を与えない。




いくつかの概念

位相空間に関するいくつかの概念を提示する。 ここで示す内部,境界,閉包などの概念は,基本的には距離空間の場合と同様にして定義されるものであり,具体的なイメージが欲しい場合は,距離空間の場合のイメージを参考にしてもらいたい。

定義:位相空間$X$の部分集合で,その補集合$X-A$が開集合となる$A$を$X$の閉集合(closed set)という。

閉集合に関して,以下の基本的な性質が成り立つ:

  • 閉集合$C_i,C_j$の和$C_i\cup C_j $も閉集合である。
  • $X$の部分集合族$\{C_i\}_{i \in I}$の各元が閉集合なら,共通部分$\bigcap_{i \in I} C_i$も閉集合である。
  • $X$自身と空集合も閉集合である。

定義:位相空間$X$の部分集合$A$と$X$の開集合$U$に対し,$a \in U \subset A$となる点$a$を$A$の内点(interior point)という。 また,$A$の内点全体からなる集合を$A$の内部(interior)といい,$\text{Int}A$と表す。

定義:位相空間$X$の部分集合$A$に対し,任意の$x \in X$の開近傍$U$と

\begin{align} U\cap A \neq \emptyset \end{align}

となる点全体からなる集合を,$A$の閉包(closure)といい,$\bar{A}$と表す。

定義:位相空間$X$の部分集合$A$の境界(boundary)$\pd A$とは,$\bar{A}-\text{Int}A$のことである。


連続写像

位相空間の間の連続写像も,距離空間の間の連続写像同様に,次のように定義される:

定義:$X$と$Y$を位相空間とする。 $x \in X$の開近傍$U$と,$f(x) \in V$となる開近傍$V \subset Y$に対し,$f(U) \subset V$が成り立つとき,写像$f$は点$x$において連続(continuous)であるという。

任意の$x$について上の条件を満たすとき,$f$が上の意味で連続であることは,次の条件ともそれぞれ同値になる。

  1. $Y$の任意の開集合$V$に対し,$f^{-1}(V)$は$X$の開集合である。
  2. $Y$の任意の閉集合$W$に対し,$f^{-1}(W)$は$X$の閉集合である。


参考文献


自然科学に関する質問やノート作りは『AfterSchool』で。