距離空間から位相空間一般へ

位相空間とは

ある集合$I$の各元$i$に1つずつ別の集合$X$の各元$x$を対応付けて$x_i$とラベルするとき， 集合$I$を添え字集合という。 集合を元とする集合を，集合族という。

$x\in X$に対し，$x$を含む$X$の部分集合を$x$の近傍（neighborhood）といい，開集合である近傍を開近傍（open neighborhood）という。 誤解の恐れがない場合は，単に$X$を位相空間と呼ぶことも一般的になされる。

例：通常の位相

Euclid距離によって定義される開集合からなるEuclid空間の位相構造を，通常の位相（standard topology）という。

例：離散位相

位相空間$X$のすべての部分集合を開集合とすると，それらが成す開集合族，すなわち$X$のべき集合（部分集合全体から成る集合）$\mathfrak{B}(X)$は，位相の条件を満たすため，$(X,\mathfrak{B}(X))$は位相空間となる。 このとき$\mathfrak{B}(X)$は離散位相（discrete topology），$(X,\mathfrak{B}(X))$は離散空間（discrete space）と呼ばれる。

例：密着位相

集合$X$に対して$\sO=\{\emptyset, X\}$とする。 この$\sO$は上の条件を満たすため，$(X,\sO)$は位相空間となる。 この位相を自明な位相 （trivial topology）あるいは密着位相 （indiscrete topology）といい，この位相を持つ位相空間を密着空間（indiscrete space）という。 ただ，この自明な位相は自明すぎて興味深い結果を与えない。

いくつかの概念

位相空間に関するいくつかの概念を提示する。 ここで示す内部，境界，閉包などの概念は，基本的には距離空間の場合と同様にして定義されるものであり，具体的なイメージが欲しい場合は，距離空間の場合のイメージを参考にしてもらいたい。

閉集合に関して，以下の基本的な性質が成り立つ：

• 閉集合$C_i,C_j$の和$C_i\cup C_j $も閉集合である。
• $X$の部分集合族$\{C_i\}_{i \in I}$の各元が閉集合なら，共通部分$\bigcap_{i \in I} C_i$も閉集合である。
• $X$自身と空集合も閉集合である。

連続写像

位相空間の間の連続写像も，距離空間の間の連続写像同様に，次のように定義される：

任意の$x$について上の条件を満たすとき，$f$が上の意味で連続であることは，次の条件ともそれぞれ同値になる。

1. $Y$の任意の開集合$V$に対し，$f^{-1}(V)$は$X$の開集合である。
2. $Y$の任意の閉集合$W$に対し，$f^{-1}(W)$は$X$の閉集合である。