【位相幾何学】内部、境界、閉包

Introduction

『距離空間と位相』では，距離空間$X$の部分集合$A$内の点列のすべての極限（集積点）が，$A$の内部に含まれるかどうか，すなわち極限に関して閉じているかどうかによって，開集合および閉集合という概念が定義されることを説明した。 ここでは，その集合の「内部」や「境界」などといった概念にも形式的な定義を与え，開集合，閉集合との関係を見る。

内部，境界，閉包の定義

トップ画は，以下で紹介する概念のいくつかに関するイメージになっているため，その都度参照しながら読み進めてもらいたい。

以下，$X$を距離空間，$A$をその部分集合とする。

触点とは，すなわちどんなに小さな近傍を取っても，$A$の点を含んでしまうような点$x$のことである。 この定義より，$A$の内点であれば$A$の触点でもあるが，触点であるからといって$A$の内点である必要はない。

つまり，$A$が$X$で稠密であるとは，$X$のどの点をとっても，その近傍に$A$が含まれるということなので，$A$が$X$にみっちり含まれているような状態である。

以上の定義より，$A$とその内部および閉包との間には

という包含関係が成り立つ。 これより，$X$は$A$の内部$\text{Int}A$と，閉包$\bar{A}$から内部$\text{Int}A$を取り除いたもの（すなわち差集合$\overline{A}-\text{Int} A$）および$X$から閉包$\bar{A}$を取り除いた$X-\overline{A}$に分割される。 これより，次のような直感的にもわかりやすい概念が定義される。

改めて整理すると，$X$の点のうち，どんなに小さな近傍をとっても，部分集合$A$の点を含んでしまうような点の集合を，$A$の閉包といい，その点を触点という。 触点のうち，$A$の点であるものが$A$の内部を定義する。 対して，$A$の外部は$X-A$ではなく，$X-\bar{A}$で定義される。 そして，$X$のうち，$A$の内部でも外部でもない部分が，境界である。

触点と良く似た概念として集積点というものがあったが，$A \subset X$の集積点とは，$x$の任意の近傍$U$が$x$以外の$A$の点を含むもの，すなわち

となる$x\in X$と定義されていたため，異なる概念である。 実際，(\ref{eq:def_accum_point})が成り立てば(\ref{eq:def_adh_point})も成り立つため，集積点であれば触点でもあるが，部分集合として1点$x\in X$だけからなるような集合$A=\{x\}$を考えると，(\ref{eq:def_adh_point})は成り立つが(\ref{eq:def_accum_point})は成り立たないため，触点であるからといって集積点でもあるとは言えない。 この例のように，$A$の点であるが$A$の集積点とはならない点を，$A$の孤立点（isolated point）という。

開集合と閉集合との関係

開集合と閉集合は，境界という概念を用いて次のようにも定義できる：

(\ref{eq:A_rel})の関係で見ると，$\text{Int}A = A$が成り立つものが開集合，$A= \bar{A}$が成り立つのが閉集合である。