Cauchy列と完備性

Cauchy列

ある集合の元をある規則に従って並べたものを点列というのであった。 より形式的に述べると，集合$X$の点列とは，集合$X$に対して，自然数の集合$N$の元から$X$の元を対応付ける写像

のことである。

これに対して次の概念を定義する。

つまり，$m,n$を大きくしていけば，二点間の距離$d(x_m,x_n)$がどんどん小さくなっていくような列のことである。 例えば次のような例が単純でわかりやすい。

完備性

収束列はCauchy列である。 実際，$\{x_n\}$が収束する列であること，すなわち$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\to x$とすると，任意の$\epsilon >0$に対し，ある$k$が存在し，$n>k$ならば$d(x_n,x)<\epsilon /2$となる。 よって，$m,n>k$に対し

が成り立つ。

他方，Cauchy列であるからといって収束するとは限らない。

$R$と$(0,1)$は同相であるから，これらの例より，完備性は位相的な性質ではないことが分かる。 位相空間一般には，Cauchy列や完備性という概念はない。