距離空間と位相

距離空間とは

距離空間の定義

集合$X$の任意の2元$x,y$に実数を対応付ける関数$d(x,y)$が与えられ，以下の性質を満たすとき，$X$を距離空間（metric space） ，$d(x,y)$を$x$と$y$の距離（metric）または距離関数（distance function）という：

このとき，$X$の元を$X$の点とも言い表す。

例：正方行列の集合

$n$次元実正方行列全体からなる集合$M(n,R)$は，$n^2$次元Euclid空間と同一視できるため，Euclid距離を導入し，距離空間とみなすことができる。 どういうことかもう少し具体的に説明しよう。 一般性は失われないため，簡単のために$n=2$の場合を考える。 $M(2,R)$の元

は

のような，$R^4$の点への対応付け（全単射）$f$が定義できるため，任意の$A,B\in M(2,R)$について

とEuclid距離を定義することができる。

任意の次元$n$について同様の議論が成り立つことは明らかだろう。

点列と部分列

以下で必要になるため，ここで点列について説明しておく。 集合$X$に対して，自然数の集合$N$の元から$X$の元を対応付ける写像

を$X$の点列（sequence）という。 また，点列から順序の入れ替えなしに抜き出して作った別の列を部分列（subsequence）という。 もう少し形式的に書けば，点列$\{x_n\}$の部分列とは，添え字について，$i < j$であれば$k(i) < k(j)$となるよう対応付ける写像を用いて作られた別の点列$\{x_{k(n)}\}$のことである。

例）$\{x_n\}$に対して

• $k(n)=n+1$とすれば，$x_2,x_3,x_4,...$という部分列が作られる。
• $k(n)=2n$とすれば，$x_2,x_4,x_6,...$という部分列が作られる。

開集合・閉集合

近傍と開集合

$X$を距離空間とし，任意の$a\in X$と正の数$\varepsilon$に対して

で与えられる$X$の部分集合を，$a$の$\varepsilon$-近傍（きんぼう；neighbourhood）という。 例えば$X$が$n$次元Euclid空間$R^n$であれば，$U_\varepsilon(a)$は$a$から距離$\varepsilon$内にある点からなる$R^n$の部分集合である。

距離空間$X$の部分集合$O$の各点$a$に対して$U_\varepsilon(a)\subset O$であるような$\varepsilon>0$が存在するとき，$O$を$X$の開集合（open set）という。 つまり，$O$に含まれるすべての点が，$O$内に収まる近傍を有しているとき，$O$は開集合である。

例えば$a< b$である$a,b\in R$について

を開区間（open interval）

を閉区間（closed interval）というが，開区間は開集合であるのに対し，閉集合はそうでない。 なぜなら，上の閉区間において$x=a$の近傍$U_\varepsilon(a)$を取ると，$\varepsilon$をどれだけ小さく取ろうとも，$a$より小さな値に対応する点は閉区間$[a,b]$の外にはみ出してしまうからである（$x=b$についても同様）。 半開区間$[a,b)\equiv \{x\in R\ | \ a \leq x < b \}$や$(a,b]\equiv \{x\in R\ | \ a < x \leq b \}$も同様の理由から開集合ではない。

開集合について，以下の基本的な性質が成り立つ：

集積点と閉集合

距離空間$X$の部分集合$A$の異なる点を並べた 点列$x_1,x_2,...,x_n,...$が$n\to \infty$で$a$に近づくとき，つまり

であるとき，$a$を$A$の集積点（accumulation point）あるいは極限点（limit point）という。 これは，正数$\varepsilon$をどれだけ小さく取っても，十分大きな番号$k$を取ると，$n > k$について

となるということ，すなわち$a$の$\varepsilon$-近傍に$a$とは異なる$A$の点が含まれることと言い換えられる。 このとき，$a$自体は$A$に含まれていなくてもいいが，$A$の集積点がすべて$A$に含まれるとき，$A$を$X$の閉集合（closed set）という。

集積点のイメージ

閉集合は開集合の補集合となっており，以下の基本的な性質が成り立つ：

先に挙げた例でいえば，閉区間$[a,b]$は$R$の閉集合である。 他方，半区間$[a,b)$や$(a,b]$は開集合でも閉集合でもない。

位相

距離空間$X$の開集合全体からなる部分集合族を$\sO$とすると，開集合の性質から次のことが成り立つ：

これを一般化し，ある集合$X$の部分集合族$\sO$が上の条件を満たすとき，$\sO$を位相（topology）といい，位相を与えられた集合$X$を（より正確に言えば組$(X,\sO)$を），位相空間（topological space）という。 $X$の部分集合で，$\sO$に属するものを開集合，その補集合を閉集合という。

上で主に議論してきたような，Euclid距離によって定まる位相を通常の位相（standard topology）という。