距離空間の間の連続写像

proof   (\ref{eq:limit_x})ならば(\ref{eq:map_neigboor})を証明するために，(\ref{eq:map_neigboor})が成り立たない場合，すなわち

を仮定して考えてみる。

1. 自然数$n$に対して$\delta=1/n$と取ると，(\ref{eq:anti})が成り立つということは，ある$n$において
   \begin{align} x_n \in U_{1/n}\quad \text{かつ} \quad f(x_n) \not\subset U_\varepsilon(f(x_n)) \end{align}

   となる点$x_n$が存在するということである。

2. つまり
   \begin{align} d(x,x_n) < 1/n \quad \text{かつ} \quad d(f(x),f(x_n))\geq \varepsilon \end{align}

   となる$\varepsilon>0$が存在するということである

3. しかし，これは，$n\to \infty$の極限を取ったとき，$d(x_n,x)\to 0$ならば，$d(f(x_n),f(x))\to 0$であるという連続写像の定義(\ref{eq:limit_x})に反する。
4. よって，(\ref{eq:limit_x})ならば(\ref{eq:map_neigboor})と言える。

次に，(\ref{eq:map_neigboor})ならば(\ref{eq:limit_x})を示そう。

1. $\lim_{n\to \infty} x_n \to x$となる$X$の任意の点列を取ると，(\ref{eq:map_neigboor})は任意の正数$\varepsilon$に対し
   \begin{align} d(x,x_n) < \delta \quad \text{ならば} \quad d(f(x),f(x_n)) < \varepsilon \end{align}

   となる正数$\delta$が決まるということを示している。

2. $\lim_{n\to \infty} x_n \to x$とは，ある数$k$に対して
   \begin{align} k < n \quad \text{ならば} \quad x_n \in U_\delta(x) \end{align}

   となるということであるから

   \begin{align} k < n \quad \text{ならば} \quad f(x_n) \in U_\varepsilon(f(x)) \end{align}

   が成り立つ。

3. $\varepsilon$の取り方は任意であったから，これは$\lim_{n\to \infty} f(x_n) \to f(x)$が成り立つことを示している。
4. よって，(\ref{eq:map_neigboor})ならば(\ref{eq:limit_x})である。