同相写像と同相な位相空間

Dr. SSS 2021/01/02 - 13:15:30 位相幾何学
Lucas Vieira, Public domain, via Wikimedia Commons
はじめに

ここでは,位相幾何学において肝となる位相同型の概念について説明する。


keywords: 位相空間, 写像, 位相同型

内容

定義

定義位相空間$X$から$Y$への1対1写像$f$で,$f$もその逆$f^{-1}$も連続であるものを同相写像(homeomorphism)という。

位相空間$X$と$Y$の間に同相写像が存在するとき,$X$と$Y$は位相同型(homeomorphic)あるいは同相であるという。


写像が両方向に連続であるということは,互いに空間を割くことなく移り合えるということであり,1対1であるということは各点(あるいは点の集まり)が写された先で重なり合うことがないということであるから,すなわち同相な位相空間というのは,一方の空間を,切ったり貼ったりすることなく連続的に変形させることで,他方の空間に変形できるものであるということである。

これを視覚的に示すために用いられる典型的な例が,トップ画で表現されているようなトーラスとコーヒーカップの間の同相性である。


参考文献


自然科学に関する質問やノート作りは『AfterSchool』で。