同相写像と同相な位相空間

Dr. SSS 2021/01/02 - 13:15:30 2824 位相幾何学

Lucas Vieira, Public domain, via Wikimedia Commons

はじめに

ここでは，位相幾何学において肝となる位相同型の概念について説明する。

keywords: 位相空間, 写像, 位相同型

内容

定義

定義：位相空間$X$から$Y$への1対1写像$f$で，$f$もその逆$f^{-1}$も連続であるものを同相写像（homeomorphism）という。

位相空間$X$と$Y$の間に同相写像が存在するとき，$X$と$Y$は位相同型（homeomorphic）あるいは同相であるという。

例

写像が両方向に連続であるということは，互いに空間を割くことなく移り合えるということであり，1対1であるということは各点（あるいは点の集まり）が写された先で重なり合うことがないということであるから，すなわち同相な位相空間というのは，一方の空間を，切ったり貼ったりすることなく連続的に変形させることで，他方の空間に変形できるものであるということである。

これを視覚的に示すために用いられる典型的な例が，トップ画で表現されているようなトーラスとコーヒーカップの間の同相性である。

【トポロジー】トーラスとコーヒーカップの間の同相性https://t.co/zMwwUus0GQ pic.twitter.com/1iWP0CRMxb
— 美しき物理学bot (@ST_phys_bot) May 16, 2021

参考文献

Adams, C. and Franzosa, R. (2007). Introduction to Topology: Pure and Applied. Prentice Hall.
松本幸夫. (1988). 多様体の基礎. 東京大学出版会.
Schutz, B. F. (1980). Geometrical Methods of Mathematical Physics.‎ Cambridge University Press.
――(1987). 物理学における幾何学的方法. 家正則, 観山正見, 二間瀬敏史訳. 吉岡書店.
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Sutherland, W. A. (2009). Introduction to Metric and Topological Spaces. Oxford University Press.
内田伏一. (2020). 集合と位相(増補新装版). 裳華房.