位相幾何学 2021-01-02

同相写像と同相な位相空間

ScienceTime Team
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同相写像と同相な位相空間
Lucas Vieira, Public domain, via Wikimedia Commons
Keywords:
写像 位相空間 位相同型

Introduction

ここでは，位相幾何学において肝となる位相同型の概念について説明する。

定義

定義：位相空間$X$から$Y$への1対1写像$f$で，$f$もその逆$f^{-1}$も連続であるものを同相写像（homeomorphism）という。

位相空間$X$と$Y$の間に同相写像が存在するとき，$X$と$Y$は位相同型（homeomorphic）あるいは同相であるという。


例

写像が両方向に連続であるということは，互いに空間を割くことなく移り合えるということであり，1対1であるということは各点（あるいは点の集まり）が写された先で重なり合うことがないということであるから，すなわち同相な位相空間というのは，一方の空間を，切ったり貼ったりすることなく連続的に変形させることで，他方の空間に変形できるものであるということである。

これを視覚的に示すために用いられる典型的な例が，トップ画で表現されているようなトーラスとコーヒーカップの間の同相性である。

References

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