実数の連続性

実数の連続性

$R$の部分集合$X$の任意の元$x$が，$R$のある元$b$について$x \leq b$を満たすとき，$X$は上に有界（bounded above）であるといい，このような$b$を$X$の上界（upper bound）という。 同様に，任意の$x\in X$について$x \geq a$なる$a \in R$があるとき，$X$は下に有界（bounded below）であるといい，このような$a$を$X$の下界（lower bound）という。

例えば，閉区間$[0,1]$を考えると，$1$以上の実数はすべて上界であり，$0$以下の実数はすべて下界である。 そのうち，$1$は上界全体の中で最小で，$0$は下界全体の中で最大となる。 これらの数をそれぞれ，$[0,1]$の上限および下限という。

一般に，$X \subset R$の上界全体からなる$R$の部分集合に最小元$b_0 \in R$があるとき，この$b_0$を$X$の上限（supremum）といい

と表す。 同様に，$X$の下界全体からなる$R$の部分集合に最大元$a_0 \in R$があるとき，この$a_0$を$X$の下限（infimum）といい

と表す。

これらの概念に関する次の公理を実数の連続性（continuity of real numbers）という。

縮小区間定理

proof:  

1. $\{[a_n,b_n]\ | \ n\in N \}$の構造より
   \begin{align} \notag a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_n \leq ... \leq b_n \leq ... \leq b_2 \leq b_1 \end{align}

   という不等式が成り立つ。

2. 実数列$\{a_n\}$は上に有界な単調増加列，$\{b_n\}$は下に有界な単調減少列であるため，それぞれ上限$\alpha$と下限$\beta$に 収束する。
3. これらは任意の$n$について $$ a_n \leq \alpha \leq \beta \leq b_n $$ を満たすため $$ \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]\neq \emptyset $$ が言える。
4. 他方，$\lim_{n\to \infty}(a_n-b_n)=0$であるから，実数列$\{a_n\}, \{b_n\}$はともに同じ実数，$c$と記す，に収束する。
5. よって $$ \alpha=\beta=c $$ であり $$ \bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]= c $$ が成り立つ。

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