行列のノルムと指数関数

Keywords:

Introduction

物理においては，例えばLie群の扱いなどで必要になる行列の列の収束や，正方行列の指数表示などについて説明する。

行列のノルムと距離

$n$ 次の複素正方行列の集合を $M (n, C)$ と表し，その元について考える。行列 $A \in M (n, C)$ の $(i, j)$ 成分を $a_{i j}$ としたとき， $A$ のノルムは

\begin{array}{r} (1) & ‖ A ‖ = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i j}^{2}} \end{array}

で定義される。任意の行列 $A, B$ と複素数 $c \in C$ について，以下の性質が成り立つ。

$‖ A ‖ \geq 0$
$‖ A ‖ = 0 ⟺ A = 0$
$‖ c A ‖ = | c | ‖ A ‖$
$‖ A + B ‖ \leq ‖ A ‖ + ‖ B ‖$
$‖ A B ‖ \leq ‖ A ‖ ‖ B ‖$

また，行列 $A$ と $B$ の距離を

\begin{array}{r} (2) & d (A, B) = ‖ A - B ‖ \end{array}

で定める。

性質2より，行列の列 $A_{1}, A_{2}, . . .$ が

\begin{array}{r} (3) & lim_{k \to \infty} ‖ A_{k} - A ‖ = 0 \end{array}

を満たすとき

\begin{array}{r} (4) & lim_{k \to \infty} A_{k} \to A \end{array}

である。これを，列 $A_{1}, A_{2}, . . .$ が $A$ に収束するという。

行列の指数関数

行列 $A$ の指数関数は

\begin{array}{r} (5) & \exp A = e^{A} \equiv I + \frac{A}{1!} + \frac{A^{2}}{2!} + . . . = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!} \end{array}

で定義される。ここで， $A^{0}$ は $A$ と同じ次数の単位行列 $I$ に等しいとする。この右辺の無限級数は任意の行列について収束する。

proof ( $5$ )の右辺は $\sum_{k = 0}^{n} \frac{A^{k}}{k!}$ について $n \to \infty$ の極限を取ったものであるため

\begin{array}{r} (6) & s_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{A^{k}}{k!}, S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{‖ A ‖^{k}}{k!} \end{array}

といった量について考える。 $n > m$ である自然数 $n, m$ について

\begin{array}{r} (7) & ‖ s_{n} - s_{m} ‖, | S_{n} - S_{m} | \end{array}

を定義すると

\begin{aligned} ‖ s_{n} - s_{m} ‖ = & ‖ \sum_{k = 0}^{n} \frac{A^{k}}{k!} - \sum_{k = 0}^{m} \frac{A^{k}}{k!} ‖ = ‖ \sum_{k = m + 1}^{n} \frac{A^{k}}{k!} ‖ \\ (8) & = & ‖ \frac{A^{m + 1}}{(m + 1)!} + \frac{A^{m + 2}}{(m + 2)!} + . . . + \frac{A^{n}}{n!} ‖ \end{aligned}

および

\begin{aligned} | S_{n} - S_{m} | = & | \sum_{k = 0}^{n} \frac{‖ A ‖^{k}}{k!} - \sum_{k = 0}^{m} \frac{‖ A ‖^{k}}{k!} | = \sum_{k = m + 1}^{n} \frac{‖ A ‖^{k}}{k!} \\ (9) & = & \frac{‖ A ‖^{m + 1}}{(m + 1)!} + \frac{‖ A ‖^{m + 2}}{(m + 2)!} + . . . + \frac{‖ A ‖^{n}}{n!} \end{aligned}

であり，ノルムの関係3および4（和のノルムはノルムの和以下）と5（積のノルムはノルムの積以下）を使うと

\begin{array}{r} (10) & ‖ s_{n} - s_{m} ‖ \leq | S_{n} - S_{m} | \end{array}

の関係が成り立つことがわかる。 $S_{n}$ は定義より $e^{‖ A ‖}$ に収束するから，上式より， $s_{n}$ も収束することがわかる。

□

この表現について，次のことが言える：

$A, B \in M (n, C)$ について， $A B = B A$ であれば

\begin{array}{r} (11) & e^{A} e^{B} = e^{A + B} \end{array}

の関係が成り立つ。

これは次のように示せる。

\begin{aligned} e^{A + B} = & \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{1}{j!} (A + B)^{j} = \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{1}{j!} \sum_{k = 0}^{j} \frac{j!}{k! (j - k)!} A^{k} B^{j - k} \\ = & \sum_{j = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{j} \frac{A^{k}}{k!} \frac{B^{j - k}}{(j - k)!} = (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!}) (\sum_{l = 0}^{\infty} \frac{B^{l}}{l!}) \\ (12) & = & e^{A} e^{B} \end{aligned}

ここで，1行目の2つ目の等式で二項定理を使った。 2行目の和の置き換えは次のように考えるとわかりやすい。

$e^{A} e^{B}$ は，無限級数に展開して考えると

\begin{array}{r} (13) & (1 + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + . . .) (1 + B + \frac{B^{2}}{2!} + \frac{B^{3}}{3!} + . . .) \end{array}

である。平面上の点 $(k, l)$ （ $k, l$ は自然数）を，( $13$ )の展開に現れる $(A^{k} / k!) (B^{l} / l!)$ に対応付けると

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} 1 \times & (1 + B + \frac{B^{2}}{2!} + \frac{B^{3}}{3!} + . . .) \\ A & \times (1 + B + \frac{B^{2}}{2!} + \frac{B^{3}}{3!} + . . .) \\ \frac{A^{2}}{2!} \times (1 + B + \frac{B^{2}}{2!} + \frac{B^{3}}{3!} + . . .) \\ . . . \end{aligned} \end{matrix}

と計算していく過程は（実際にはそれぞれ無限級数であるが），下図の左のように格子点を拾っていくことに対応する。他方，式( $12$ )の $\sum_{j = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{j} \frac{A^{k}}{k!} \frac{B^{j - k}}{(j - k)!}$ のような和は，図の右のような拾い方に対応している。

式( $12$ )における和の置き換えのイメージ