一般線形群

はじめに

一般線形群の定義について説明する。

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内容

線形変換とその表現

同じ体$K$（四則演算が定義できる集合）上のベクトル空間$V$から$W$への写像で，任意の$\bm{x},\bm{y} \in V$と$a,b\in K$について

\begin{align} T(a\bm{x}+\bm{y}) = aT(\bm{x})+bT(\bm{y}) \end{align}

という性質を満たすものを，線形写像（linear map）という。同じ体上というのは，例えばベクトル空間$V$が実ベクトル空間であれば$W$も実ベクトル空間，$V$が複素ベクトル空間であれば$W$も複素ベクトル空間といった意味である，特に，$V=W$であるとき，すなわち同じベクトル空間上の写像であるとき，$T$を線形変換（linear transformation）や1次変換などという。

$V$の次元を$n$とし，基底を$\bm{e}_j \ (j=1,2,...,n)$と選ぶと，$V$の任意のベクトル$\bm{x}$は

\begin{align} \bm{x}=\sum_{j=1}^n x_j \bm{e}_j \end{align}

と展開でき，これに対する$T$による変換は

\begin{align} T(\bm{x}) =\sum_{j=1}^n x_j T(\bm{e}_j) =\sum_{j=1}^n x_j \sum_{i=1}^n T_{ij} \bm{e}_i \end{align}

と書ける。この行列を，基底$\{\bm{e}_j\}$を用いた$T$の表現行列（representation matrix）という。何もしないという変換（恒等変換）も，単位行列$I$によって表現できる。

線形変換群

変換$T,U$を続けて行った結果は

\begin{align} UT(\bm{x}) =&\sum_{j=1}^n x_j UT(\bm{e}_j) \notag \\ =& U\left(\sum_{j=1}^n x_j \sum_{i=1}^n T_{ij} \bm{e}_i\right) \notag \\ =&\sum_{j=1}^n x_j \sum_{k=1}^n (\sum_{i=1}^n U_{ki}T_{ij}) \bm{e}_k \end{align}

となり，$UT$という変換も，$\sum_{i=1}^n U_{ki}T_{ij}$という成分を持つ行列で表現できる。また，線形代数の基本的な性質として，任意の行列は積の結合則を満たす。さらに，表現行列が正則な行列，すなわち逆行列を持つ行列であれば，線形変換の表現行列は群としての定義を満たす。

すなわち，正則な正方行列からなる集合は群を成している。これを$GL(n,F)$と表し，一般線形群（general linear group）と呼ぶ。 $F$は行列の成分が属する体を指しており，実数を成分とする行列からなる場合は$GL(n,R)$と表し，実一般線形群（real general linear group）と，複素数を成分とする行列からなる場合は$GL(n,C)$と表し，複素一般線形群（complex general linear group）と呼んだりもする。一般線形群のことを線形変換群や1次変換群と呼ぶこともある。

特殊線形群

ここでは，体として$R$または複素数体$C$を考え，$K$は$R$か$C$のどちらかを表すとする。体$K$上で定義される$n$次正方行列すべての集合$M(n,K)$のうち，正則な行列（逆行列を持つ行列）の作る集合$GL(n,K)$は群を成し，それを一般線形群と呼ぶのであった。

正則であるということは行列式が0でないということだから，$GL(n,K)$は

\begin{align} GL(n,K)=\{ A \in M(n,K) \ | \ \det{A}\neq 0\} \end{align}

と表せる。このうち，行列式が1である部分，すなわち

\begin{align} SL(n,K)=\{ A \in M(n,K) \ | \ \det{A}=1\} \end{align}

を，特殊線形群（special linear group）という。

特殊線形群$SL(n,K)$が$GL(n,K)$の部分群となっていることは次のことからわかる。まず，定義より，任意の$g,h\in SL(n,K)$について$\det g= \det h=1$であるが，行列式の性質から，$\det(gh)=\det{(g)}\det{(h)}=1$であるから

\begin{align} \label{eq:gh1} g,h\in SL(n,K)\to gh\in SL(n,K) \end{align}

とわかる。また，逆行列の性質として，$\det (g^{-1})=(\det{g})^{-1}$が成り立つから，任意の$g\in SL(n,C)$について，$\det (g^{-1})=(\det{g})^{-1}=1$である。よって

\begin{align} \label{eq:gh2} g\in SL(n,K)\to g^{-1}\in SL(n,K) \end{align}

であり，(\ref{eq:gh1})および(\ref{eq:gh2})より，$SL(n,K)$が$GL(n,K)$の部分群であることが言える。

一般線形群

線形変換とその表現

線形変換群

特殊線形群

参考文献