一般線形群

Keywords:

Introduction

一般線形群の定義について説明する。

線形変換とその表現

同じ体 $K$ （四則演算が定義できる集合）上のベクトル空間 $V$ から $W$ への写像で，任意の $x, y \in V$ と $a, b \in K$ について

\begin{array}{r} (1) & T (a x + y) = a T (x) + b T (y) \end{array}

という性質を満たすものを，線形写像（linear map）という。同じ体上というのは，例えばベクトル空間 $V$ が実ベクトル空間であれば $W$ も実ベクトル空間， $V$ が複素ベクトル空間であれば $W$ も複素ベクトル空間といった意味である，特に， $V = W$ であるとき，すなわち同じベクトル空間上の写像であるとき， $T$ を線形変換（linear transformation）や1次変換などという。

$V$ の次元を $n$ とし，基底を $e_{j} (j = 1, 2, . . ., n)$ と選ぶと， $V$ の任意のベクトル $x$ は

\begin{array}{r} (2) & x = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} e_{j} \end{array}

と展開でき，これに対する $T$ による変換は

\begin{array}{r} (3) & T (x) = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} T (e_{j}) = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} \sum_{i = 1}^{n} T_{i j} e_{i} \end{array}

と書ける。この行列を，基底 ${e_{j}}$ を用いた $T$ の表現行列（representation matrix）という。何もしないという変換（恒等変換）も，単位行列 $I$ によって表現できる。

線形変換群

変換 $T, U$ を続けて行った結果は

\begin{aligned} U T (x) = & \sum_{j = 1}^{n} x_{j} U T (e_{j}) \\ = & U (\sum_{j = 1}^{n} x_{j} \sum_{i = 1}^{n} T_{i j} e_{i}) \\ (4) & = & \sum_{j = 1}^{n} x_{j} \sum_{k = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} U_{k i} T_{i j}) e_{k} \end{aligned}

となり， $U T$ という変換も， $\sum_{i = 1}^{n} U_{k i} T_{i j}$ という成分を持つ行列で表現できる。また，線形代数の基本的な性質として，任意の行列は積の結合則を満たす。さらに，表現行列が正則な行列，すなわち逆行列を持つ行列であれば，線形変換の表現行列は群としての定義を満たす。

すなわち，正則な正方行列からなる集合は群を成している。これを $G L (n, F)$ と表し，一般線形群（general linear group）と呼ぶ。 $F$ は行列の成分が属する体を指しており，実数を成分とする行列からなる場合は $G L (n, R)$ と表し，実一般線形群（real general linear group）と，複素数を成分とする行列からなる場合は $G L (n, C)$ と表し，複素一般線形群（complex general linear group）と呼んだりもする。一般線形群のことを線形変換群や1次変換群と呼ぶこともある。

特殊線形群

ここでは，体として $R$ または複素数体 $C$ を考え， $K$ は $R$ か $C$ のどちらかを表すとする。体 $K$ 上で定義される $n$ 次正方行列すべての集合 $M (n, K)$ のうち，正則な行列（逆行列を持つ行列）の作る集合 $G L (n, K)$ は群を成し，それを一般線形群と呼ぶのであった。

正則であるということは行列式が0でないということだから， $G L (n, K)$ は

\begin{array}{r} (5) & G L (n, K) = {A \in M (n, K) | det A \neq 0} \end{array}

と表せる。このうち，行列式が1である部分，すなわち

\begin{array}{r} (6) & S L (n, K) = {A \in M (n, K) | det A = 1} \end{array}

を，特殊線形群（special linear group）という。

特殊線形群 $S L (n, K)$ が $G L (n, K)$ の部分群となっていることは次のことからわかる。まず，定義より，任意の $g, h \in S L (n, K)$ について $det g = det h = 1$ であるが，行列式の性質から， $det (g h) = det (g) det (h) = 1$ であるから

\begin{array}{r} (7) & g, h \in S L (n, K) \to g h \in S L (n, K) \end{array}

とわかる。また，逆行列の性質として， $det (g^{- 1}) = (det g)^{- 1}$ が成り立つから，任意の $g \in S L (n, C)$ について， $det (g^{- 1}) = (det g)^{- 1} = 1$ である。よって

\begin{array}{r} (8) & g \in S L (n, K) \to g^{- 1} \in S L (n, K) \end{array}

であり，( $7$ )および( $8$ )より， $S L (n, K)$ が $G L (n, K)$ の部分群であることが言える。