ウェイトの定義
$\frg$を複素半単純Lie代数,$\frh$をその固定されたCartan部分代数とし,$H_1,...,H_l$をその基底とする。 $\frg$の元は互いに可換であるから,$\frg$の表現$(\rho,V)$に対し
\begin{align} \rho(H_i)X=m_iX \end{align}
を満たす固有ベクトル$X\in V$が存在し,表現行列$ \rho(H_i)$は同時対角化可能である。
任意の$H\in \frh$は$H=\sum_{i=1}^l a^i H_i$と展開でき,それに対して$H_1,...,H_l$ の双対基底$\bm{e}^1,...,\bm{e}^l$を用いて
\begin{align} \mu=\sum_{i=1}^l m_i\bm{e}^i \end{align}
とできるから,任意の$H\in \frh$に対して
\begin{align} \label{eq:weight} \rho(H)X=\mu(H)X \end{align}
が成り立つ。 固有値$\mu(H)$を与える$\mu$を表現$\rho$のウェイト(weight)という。
定義からわかるよう,ルートとは随伴表現という特定の表現のウェイトのことである。
固有ベクトル
$H\in \frh$の何らかの表現行列$\rho(H)$のウェイト$\mu$に対応する固有ベクトルを$|\mu \rangle$と表す:
\begin{align} \rho(H)|\mu \rangle = \mu |\mu \rangle \end{align}
物理的な応用をイメージして,この固有ベクトルを「状態」と呼ぶことにしよう。
\begin{align} \rho([H,E_{\pm\alpha}]) = [\rho(H)\rho(E_{\pm\alpha})] = \pm\alpha\rho(E_{\pm\alpha}) \end{align}
であるから,$\rho(E_{\pm\alpha})$を作用した状態を考え,それに対して$\rho(H)$を作用してみると
\begin{align} \rho(H)\rho(E_{\pm\alpha})|\mu \rangle &= \left([\rho(H)\rho(E_{\pm\alpha})]+\rho(E_{\pm\alpha})\rho(H)\right) |\mu \rangle \notag \\ &= (\mu\pm\alpha)\rho(E_{\pm\alpha}) |\mu \rangle \end{align}
となり,状態$\rho(E_{\pm\alpha}) |\mu \rangle$は固有値$(\mu\pm\alpha)$に対応する固有ベクトルとなっていることがわかる。 よって,係数$N_{\pm\alpha,\mu}$を用いて
\begin{align} \label{eq:weight_N} \rho(E_{\pm\alpha}) |\mu \rangle = N_{\pm\alpha,\mu}|\mu \pm \alpha\rangle \end{align}
と表すことができる。
ウェイトは有限であるから,この操作を繰り返すことで,ウェイトの系列
\begin{align} \label{eq:weight_series} \mu-q\alpha,\mu-(q-1)\alpha,...,\mu,...,\mu+(p-1)\alpha,\mu+p\alpha \end{align}
が得られる($q,p$は0以上の整数)。
$N_{\alpha,\mu}$の決定
以下,$\rho(H)$,$\rho(E_\alpha)$などを省略し,単に$H$や$E_\alpha$のように表す。
$N_{\alpha,\mu}$は次のようにして決められる。 (\ref{eq:weight_series})の形のウェイトの系列を考える。 異なるウェイト$\mu,\nu$に対し
\begin{align} \langle \mu | \nu \rangle = \delta_{\mu,\nu} \end{align}
と規格化する。
すると
\begin{equation} \begin{split} (\alpha,\mu) =& g^{ij}a_im_j \\ =& \langle \mu | a^i H_i | \mu \rangle \\ =& \langle \mu | [E_\alpha,E_{-\alpha}] | \mu \rangle \\ =& \langle \mu | E_\alpha E_{-\alpha} | \mu \rangle -\langle \mu |E_{-\alpha} E_\alpha | \mu \rangle \\ =& \langle \mu | E^\dagger_{-\alpha} E_{-\alpha} | \mu \rangle -\langle \mu |E^\dagger_\alpha E_\alpha | \mu \rangle \\ =& |N_{-\alpha,\mu}|^2 -|N_{\alpha,\mu}|^2 \end{split} \end{equation}
となる。 また
\begin{equation} \begin{split} N_{-\alpha,\mu} =& \langle \mu-\alpha|E_{-\alpha}|\mu\rangle \\ =& \langle \mu-\alpha|E^\dagger_{\alpha}|\mu\rangle \\ =& \langle \mu|E_{\alpha}|\mu-\alpha\rangle^* = N^*_{\alpha,\mu-\alpha} \end{split} \end{equation}
が成り立つから
\begin{align} \label{eq:N_series} |N_{\alpha,\mu-\alpha}|^2 -|N_{\alpha,\mu}|^2 = (\alpha,\mu) \end{align}
という漸化式を得る。
ウェイトが有限であることより
\begin{align} E_\alpha|\mu+p\alpha\rangle =0, \quad E_{-\alpha}|\mu-q\alpha\rangle =0 \end{align}
すなわち
\begin{align} N_{\alpha,\mu+p\alpha}=0 \\ N_{-\alpha,\mu-q\alpha} = N_{\alpha,\mu-(q+1)\alpha}=0 \end{align}
が成り立つから,(\ref{eq:N_series})を順に並べると
\begin{align}
|N_{\alpha,\mu+(p-1)\alpha}|^2 - \underbrace{|N_{\alpha,\mu+p\alpha}|^2}_{=0} =& (\alpha,\mu)+p(\alpha,\alpha) \notag \\
|N_{\alpha,\mu+(p-2)\alpha}|^2 - |N_{\alpha,\mu+(p-1)\alpha}|^2 =& (\alpha,\mu)+(p-1)(\alpha,\alpha) \notag \\ %%% \vdots \notag \\
%%%
\label{eq:N2_series}
|N_{\alpha,\mu}|^2 - |N_{\alpha,\mu+\alpha}|^2 =& (\alpha,\mu)+(\alpha,\alpha) \\ |N_{\alpha,\mu-\alpha}|^2 -
|N_{\alpha,\mu}|^2 =& (\alpha,\mu) \notag \\
%%%
\vdots \notag \\
%%%
|N_{\alpha,\mu-q\alpha}|^2 - |N_{\alpha,\mu-(q-1)\alpha}|^2 =& (\alpha,\mu)-(q-1)(\alpha,\alpha) \notag \\
\underbrace{|N_{\alpha,\mu-(q+1)\alpha}|^2}_{=0} - |N_{\alpha,\mu-q\alpha}|^2 =& (\alpha,\mu)-q(\alpha,\alpha) \notag \end{align}
となる。 これをすべて足し合わせると,左辺はキャンセルし,右辺は$(\alpha,\alpha)$を等差とする数列であるから
\begin{align} 0 = (p+q+1)\left( (\alpha,\mu)-\frac{q-p}{2}(\alpha,\alpha) \right) \end{align}
という関係が得られ,これよりウェイト一般に関する,ルートと同様の関係
\begin{align} \label{eq:w_integer} q-p=\frac{2(\alpha,\mu)}{(\alpha,\alpha)} \end{align}
が導かれる。
また,(\ref{eq:N2_series})の真ん中から上に向かって
\begin{equation} \begin{split} |N_{\alpha,\mu}|^2 =& (\alpha,\mu+\alpha) + |N_{\alpha,\mu+\alpha}|^2 \\ =& (\alpha,\mu+\alpha) + (\alpha,\mu+2\alpha) + |N_{\alpha,\mu+2\alpha}|^2 \\ \vdots \end{split} \end{equation}
と代入操作を繰り返していくことで
\begin{align} |N_{\alpha,\mu}|^2 = \sum_{k=1}^p (\alpha,\mu+k\alpha) = p\left( (\alpha,\mu)-\frac{p+1}{2}(\alpha,\alpha) \right) \end{align}
となり,(\ref{eq:w_integer})を用いてさらに変形することで
\begin{align} |N_{\alpha,\mu}|^2 = p(q+1) \frac{(\alpha,\alpha)}{2} \end{align}
が得られる。