Cartan部分代数とルート

Dr. SSS 2022/06/05 - 11:42:42 群論
はじめに

ここでは,半単純Lie代数の構造を決定す上で中心的な役割を果たすCartan部分代数とルートという概念について説明する。


keywords: 代数学, Lie群, Lie代数, 固有値, 固有値問題, 固有ベクトル, 対角化

内容

Cartan部分代数

複素半単純Lie代数$\frg$の中から,互いに可換でエルミートな元

\begin{align} H_i^\dagger = H_i, \quad [H_i,H_j]=0, \quad i,j=1,2,...,l \end{align}

を選ぶことができる。 このような元からなる部分代数のうち,次元$l$が最大のもの$\frh$を,Cartan部分代数(Cartan subalgebra)という。 Cartan部分代数の構成には任意性があるが,互いに同型な写像で移り合えるので,1つのLie代数に対し本質的にはただ1つのCartan部分代数が定まる。 Cartan部分代数の次元$l$をLie代数$\frg$の階数(rank)という

各$H_i$の随伴表現についても

\begin{align} [\ad(H_i),\ad(H_j)]=0, \quad \ad(H_i)^\dagger=\ad(H_i) \end{align}

であるから,$l$個の$\ad(H_i)$も実数固有値によって同時に対角化可能である。 すなわち

\begin{align} \label{eq:adX_aX} \ad(H_i)X=a_i X, \quad X\in \frg \end{align}

である。


ルート

各$H_i$に対応し,$l$個の$a_i$が存在し,それらは$\frh$の双対空間$\frh^*$を構成する。 $\frh^*$の任意の元$\alpha$は,基底$\bm{e}^i= \alpha_i$を用いて

\begin{align} \alpha=\sum_{i=1}^l a_i \bm{e}^i \end{align}

と表すことができる。 これを,ルート(root)という。

特定の$\alpha=\sum_i a_i\bm{e}^i$に対し(\ref{eq:adX_aX})を満たす$X\in\frg$を,$E_\alpha$と表す。 すなわち

\begin{align} \ad(H_i)E_\alpha=[H_i,E_\alpha]=a_i E_\alpha \end{align}

である。 この式を満たすために,$E_\alpha$には定数倍の任意性があることに注意しよう。 またこの式のエルミート共役は

\begin{align} [H_i,E_\alpha]^\dagger = -[H_i,E_\alpha^\dagger] = -\alpha E_\alpha^\dagger \end{align}

であるから,$\alpha$がルートであれば,$-\alpha$もルートであり

\begin{align} E_{-\alpha}=E_\alpha^\dagger \end{align}

が対応する固有ベクトルになることがわかる。

2つのルート

\begin{align} \alpha=\sum_{i=1}^l a_i \bm{e}^i, \quad \beta=\sum_{i=1}^l b_i \bm{e}^i, \end{align}

に対し

\begin{equation} \begin{split} \ad(H_i)[E_\alpha,E_\beta] =& [[H_i,E_\alpha],E_\beta]+[E_\alpha,[H_i,E_\beta]] \\ =& [\ad(H_i)E_\alpha,E_\beta]+[E_\alpha,\ad(H_i)E_\beta] \\ =& a_i[E_\alpha,E_\beta]+b_i[E_\alpha,E_\beta]\\ =&(a_i+b_i)[E_\alpha,E_\beta] \end{split} \end{equation}

であるから,$\alpha=-\beta$ のとき

\begin{align} \ad(H_i)[E_\alpha,E_{-\alpha}]=0 \end{align}

となる。 $[E_\alpha,E_{-\alpha}]$はすべての$H_i$と交換する$\frg$の元であるから,すなわち$\frh$の元であり

\begin{align} [E_\alpha,E_{-\alpha}] =H_\alpha \equiv \sum_{i=1}^l a^i H_i, \end{align}

と表すことができる。




Killing形式とCartan計量

$a_i$と$a^i$を関係づける計量定義しよう。 $H_\alpha,H_i$のKilling形式を計算してみると

\begin{equation} \begin{split} B(H_i,H_\alpha) =& \tr(\ad(H_i),\ad([E_\alpha,E_{-\alpha}])) \\ =& \tr\left(\ad(H_i) \ad(\sum_{j=1}^l a^j H_j)\right) \\ =& \tr\sum_{j=1}^la^j \left(\ad(H_i) \ad(H_j)\right) \end{split} \end{equation}

となる。 他方,同じ量は

\begin{equation} \begin{split} B(H_i,H_\alpha) =& \tr(\ad(H_i)[\ad(E_\alpha),\ad(E_{-\alpha})]) \\ =& \tr([\ad(H_i),\ad(E_\alpha)]\ad(E_{-\alpha})]) \\ =& \tr(\ad([H_i,E_\alpha])\ad(E_{-\alpha})]) \\ =& a_i\tr(\ad(E_\alpha)\ad(E_{-\alpha})) \end{split} \end{equation}

でもあり,適当な規格化によって

\begin{align} \tr(\ad(E_\alpha)\ad(E_{-\alpha}))=1 \end{align}

とできるから,$H_i,H_j$のKilling形式

\begin{align} \label{eq:cartanMetric} g_{ij}\equiv \tr(\ad(H_i)\ad(H_j)) \end{align}

が計量テンソルの役割を果たし

\begin{align} a_i=\sum_{j=1}^l g_{ij}a^j \end{align}

が成り立つ。 ここで,(\ref{eq:cartanMetric})をCartan計量(Cartan metric)という。 これを用いると,$\frh$上の内積を

\begin{align} \alpha(H_\beta) = (\alpha,\beta) = B(H_\alpha,H_\beta) = \sum_{i,j=1}^l g_{ij} a^i b^j \end{align}

と定義することができる($\frh$上でKilling形式が非退化になることについては『ルートの性質』を参照)。


参考文献


自然科学に関する質問やノート作りは『AfterSchool』で。