Cartan部分代数とルート

Cartan部分代数

複素半単純Lie代数$\frg$の中から，互いに可換でエルミートな元

を選ぶことができる。 このような元からなる部分代数のうち，次元$l$が最大のもの$\frh$を，Cartan部分代数（Cartan subalgebra）という。 Cartan部分代数の構成には任意性があるが，互いに同型な写像で移り合えるので，1つのLie代数に対し本質的にはただ1つのCartan部分代数が定まる。 Cartan部分代数の次元$l$をLie代数$\frg$の階数（rank）という

各$H_i$の随伴表現についても

であるから，$l$個の$\ad(H_i)$も実数固有値によって同時に対角化可能である。 すなわち

である。

ルート

各$H_i$に対応し，$l$個の$a_i$が存在し，それらは$\frh$の双対空間$\frh^*$を構成する。 $\frh^*$の任意の元$\alpha$は，基底$\bm{e}^i= \alpha_i$を用いて

と表すことができる。 これを，ルート（root）という。

特定の$\alpha=\sum_i a_i\bm{e}^i$に対し(\ref{eq:adX_aX})を満たす$X\in\frg$を，$E_\alpha$と表す。 すなわち

である。 この式を満たすために，$E_\alpha$には定数倍の任意性があることに注意しよう。 またこの式のエルミート共役は

であるから，$\alpha$がルートであれば，$-\alpha$もルートであり

が対応する固有ベクトルになることがわかる。

2つのルート

に対し

であるから，$\alpha=-\beta$ のとき

となる。 $[E_\alpha,E_{-\alpha}]$はすべての$H_i$と交換する$\frg$の元であるから，すなわち$\frh$の元であり

と表すことができる。

Killing形式とCartan計量

$a_i$と$a^i$を関係づける計量定義しよう。 $H_\alpha,H_i$のKilling形式を計算してみると

となる。 他方，同じ量は

でもあり，適当な規格化によって

とできるから，$H_i,H_j$のKilling形式

が計量テンソルの役割を果たし

が成り立つ。 ここで，(\ref{eq:cartanMetric})をCartan計量（Cartan metric）という。 これを用いると，$\frh$上の内積を

と定義することができる（$\frh$上でKilling形式が非退化になることについては『ルートの性質』を参照）。