Russelのパラドックス

背景

集合論の素朴な見方では，「集合」という概念は日常的な感覚の通り，「ものの集まり」を指している。集合論の創始者であるGeorg Cantorも，集合という概念を次のように定義している。

集合とは，我々の直感や思考の対象となる明確に区別されたもの（objects）$m$を，一つにまとめたもの$M$のことであると理解する。

これは，一つの公理（正確には公理図式）として，以下のように焼き直せる：

ある条件$\varphi(x)$について，それを満たす$x$からなる集合$\{ x \ | \ \varphi(x) \}$が存在する。

しかし，集合論の発展に伴って，この無制限な内包公理（axiom of unrestricted comprehension）が原因で，様々なパラドックスが生じることがわかってきた。そのうちの代表的なものが，以下のRusselのパラドックスだろう。

Russelのパラドックス

このパラドックスは，「自分自身を要素としない集合全てから成る集合」というものを考えると生じる。 この集合は

と表現できる。

さて，集合$R$は自分自身に含まれるだろうか？ もし$R \in R$，すなわち$R$自身も$R$の要素とすると，自身を要素として含まない集合という定義(\ref{eq:Rus})に矛盾する。 一方，$R\notin R$，すなわち$R$は自身を要素として含まない集合としても，結果的に$R$の定義に当てはまってしまうため，矛盾する。

先に述べたように，この矛盾は，集合という概念を一般的に定義しすぎたことに由来しており，そういった問題を避けるため，集合論を厳密な公理系として再構築する試みがなされた。

公理的集合論とパラドックスの解消

現在，標準的な公理系とみなされているのが，ZFCと呼ばれる体系である。そのうち，無制限な内包公理に対応するのが，以下の分出公理（axiom of specification）あるいは，内包公理図式（axiom schema of restricted comprehension）と呼ばれるものである。

分出公理は，論理式で表せば

となる。

この分出公理は，すでに集合とみなされている$X$の元であり，かつ条件$\varphi(x)$を満たす元によって集合

が構成できるということを述べている。

(\ref{axiom:spec})において$A=x$とし，条件を自分自身を元として含まないこと：$x \notin x$とすると

となる。

これは，もし$x\in X$であれば，$x \in x$となるのは$x \notin x$の場合であるということを意味しているが，これは先に議論した通り明らかな矛盾である。 しかし他の公理を含めた現在の枠組みでは，$x \in X$であるような$X$は存在しないと結論づけることで，パラドックスを回避することができ，このような$x$は集合ではないということが示される。

共通の性質を持つ元の集まり$\{ x \ | \ \varphi(x) \}$をクラス（class）といい，今扱ったようなクラスだが集合でないようなものは真のクラス (proper class) と呼ばれる。