Kelvin-Helmholtz不安定性

Dr. SSS 2023/04/17 - 13:56:34 1310 流体力学

はじめに

層状に重なり合った流体が，互いに異なる速度で水平運動をする場合，接触面に不安定性が生じ，流体の混合が起こる。これをKelvin-Helmholtz不安定性という。波打つような興味深い形をした雲は，その効果が見られる最も身近な例の一つである。ここでは，簡単なモデルを用いてその分散関係を調べることで，確かにこのような不安定性が生じることを確認する。

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内容

運動方程式

2つの流体が重なり合っており，接線方向に相対的な運動が生じている場合を考える。鉛直方向に$z$軸を，流体の運動の方向に$x$軸をとる。また，これらの層はそれぞれ速度一定であるとし，互いが接触する面は，そこで物理量が不連続に変化する不連続面であると考え，その近傍での安定性を調べる。接触面を$z=0$にとり，必要がある場合は，その上側の層の量に添え字1を，下側の層の量に添え字2をつけて表すことにする。

重要なのは相対速度であるため，どちらか一方の層と同じ速度で動く座標系から見ているものとし，一方の速度を0と置いても一般性は失われない。今は，下側の層の速度は0とし，上側の層の速度を単に$\bm{v}=(u,0,0)$と表記する。粘性は無視できるとすると，運動方程式は

\begin{equation} \label{eq:KHI_equation_of_motion} \frac{\pd\bm{v}}{\pd t} + (\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p +\bm{g}, \end{equation}

である。ここで，$\rho$は質量密度，$p$は圧力，$\bm{g}$は重力加速度である。左辺2項目は，運動が$x$方向に一様なものであるという仮定から0であるが，以下の議論でのわかりやすいさのための残しておく。また，流体は非圧縮であるとする：

\begin{equation} \nabla\cdot\bm{v}=0 \end{equation}

このようにして用意された系の不連続面$z=z_s$に摂動を加える。それに応じて，不連続面の位置$z_s$，圧力$p$および速度$\bm{v}$に微小な乱れが生じたとする（今の議論では本質的な影響がないため，密度の変異は無視する。これは，$\rho_1$と$\rho_2$の値が十分近いほど妥当な近似となる）。乱れに対応する量をそれぞれ$\delta z_s$，圧力$\delta p$および速度$\delta \bm{v}$と表すと，運動方程式は

\begin{equation} \label{eq:KHI_equation_of_motion_purturb} \frac{\pd(\bm{v}+\delta\bm{v})}{\pd t} + [(\bm{v}+\delta\bm{v})\cdot\nabla](\bm{v}+\delta\bm{v}) = -\frac{1}{\rho}\nabla (p+\delta p) +\bm{g} \end{equation}

となる。 (\ref{eq:KHI_equation_of_motion_purturb})から(\ref{eq:KHI_equation_of_motion})を差し引き，乱れは微小であるという仮定から，摂動量に関する2次の項$(\delta\bm{v}\cdot\nabla)\delta\bm{v}$を無視すると

\begin{equation} \frac{\pd \delta\bm{v}}{\pd t} + (\bm{v}\cdot\nabla)\delta\bm{v} = -\frac{1}{\rho_m}\nabla \delta p \end{equation}

を得る。非圧縮性条件についても同様にし

\begin{equation} \nabla\cdot \delta\bm{v}=0 \end{equation}

を得る。

線形化された運動方程式(\ref{eq:KHI_equation_of_motion_purturb})の$x$成分は

\begin{equation} \label{eq:KHI_equation_of_motion_purturb_x} \frac{\pd \delta u}{\pd t} + u \frac{\pd \delta u}{\pd x} = -\frac{1}{\rho} \frac{\pd}{\pd x} \delta p \end{equation}

であるが，摂動により，不連続面の位置が変化することから，$z$方向の速度成分

\begin{equation} \label{eq:KHI_w} \delta w \equiv \frac{\pd \delta z_s}{\pd t} + u \frac{\pd \delta z_s}{\pd x} \end{equation}

も生まれており，運動方程式には$z$成分

\begin{equation} \label{eq:KHI_equation_of_motion_purturb_z} \frac{\pd \delta w}{\pd t} + u \frac{\pd \delta w}{\pd x} = -\frac{1}{\rho} \frac{\pd}{\pd z}\delta p \end{equation}

も存在する。

分散関係

(\ref{eq:KHI_equation_of_motion_purturb})の発散を取ると，圧力に関する式

\begin{equation} \nabla^2 \delta p = \left( \frac{\pd^2 }{\pd x^2} + \frac{\pd^2 }{\pd z^2} \right) \delta p = 0 \end{equation}

が得られる。摂動量の形を

\begin{equation} \label{eq:KHI_purturbation} \propto e^{i(kx-\omega t)} \end{equation}

と仮定すると，この式は

\begin{equation} \left( \frac{\pd^2 }{\pd z^2} - k^2 \right) \delta p =0 \end{equation}

と書き換えられる。そして，この式の一般解は$e^{kz}$と$e^{-kz}$に比例する解の重ね合わせで

\begin{equation} \delta p = (Ae^{kz}+Be^{-kz})e^{i(kx-\omega t)} \end{equation}

の形における。ここで，$z=\pm\infty$で$\delta p$が消えることと，境界面$z=0$で$\delta p_1=\delta p_2$となる条件を考慮すると，解は

\begin{equation} \label{eq:KHI_sol_delta_p} \begin{array}{ll} \delta p_1 = Ae^{-kz}e^{i(kx-\omega t)} & (z>0) \\ \delta p_2 = Ae^{kz}e^{i(kx-\omega t)} & (z<0) \end{array} \end{equation}

と決まる。この$\delta p_1$解を(\ref{eq:KHI_equation_of_motion_purturb_x})に入れると

\begin{equation} i(ku-\omega)\delta w = \frac{k}{\rho_1}\delta p_1 \end{equation}

であるが，(\ref{eq:KHI_w})についても同様にすると

\begin{equation} \delta w = i(ku-\omega)\delta z_s \end{equation}

が得られるから，合わせて$\delta w$を消去することで

\begin{equation} \delta p_1 = -\frac{\rho_1(ku-\omega)^2}{k} \end{equation}

となる。

同様の手続きを下側の層についても行うと，そちら側では速度が0であること，および圧力摂動の$z$依存性が$\propto e^{kz}$であること（式(\ref{eq:KHI_sol_delta_p})）より

\begin{equation} \delta w = -i\omega\delta z_s \end{equation}

および

\begin{equation} -i\omega\delta w = -\frac{k}{\rho_2}\delta p_2 \end{equation}

を介して

\begin{equation} \delta p_2 = \frac{\rho_2\omega^2}{k} \end{equation}

を得る。境界において互いの圧力が釣り合うことから，$\rho_1(ku-\omega)^2=\rho_2\omega^2$となり，これを$\omega$について解くことで

\begin{equation} \omega = ku \frac{\rho_1 \pm i \sqrt{\rho_1 \rho_2}}{\rho_1+\rho_2} \end{equation}

を得る。これが，考えている系の周波数と波数の関係，すなわち分散関係である。周波数が正の虚部$\gamma \equiv ku\sqrt{\rho_1 \rho_2}/(\rho_1+\rho_2)$を持つことから，摂動は時間とともに指数関数的に増大することがわかる。

参考文献

Chandrasekhar, S. (1970). Hydrodynamic and Hydromagnetic stability. Oxford University Press.
坂下志郎 and 池内了. (1996). 宇宙流体力学. 培風館.
Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1959). Fluid Mechanics: Landau and Lifshitz: Course of Theoretical Physics, Volume 6. Third Revised English Edition. Pergamon Press.
――(1970). ランダウ=リフシッツ理論物理学教程流体力学I. 竹内均訳. 東京図書.