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音波

Dr. SSS 2023/10/27 - 11:34:58 984 流体力学
はじめに

圧縮性の気体にわずかな摂動を加え，圧力や密度の分布を変化させると，復元力により振動が起こり，その振動は波として周囲に伝播していく。 これが音波（sound wave）である。 ここでは，簡単な非粘性流体のモデルを用いて，音波を記述する方程式と，音速（sound speed）を表す式を導出する。


keywords: 振動, 波動, 気体, 波動方程式, 音波, 音速, 圧縮性流体

内容

モデル

圧力$p$と密度$\rho$を，平衡状態における値と，そこからの微小なずれとして

\begin{equation} p=p_0+p_1, \quad \rho=\rho_0+\rho_1 \end{equation}

の形に置く。 速度についても$\bm{v}=\bm{v}_0+\bm{v}_1$であるが，流体が平衡状態で静止している系で考え，$\bm{v}_0=0$とする。

運動方程式は

\begin{equation} (\rho_0+\rho_1)\frac{\pd\bm{v}_1}{\pd t} + (\bm{v}_1\cdot\nabla)\bm{v}_1 = -\nabla (p_0+p_1) \end{equation}

であるが，摂動が微小である仮定から，摂動量の1次までを考えればよい。 すると運動方程式は

\begin{equation} \label{eq:sound_wave_eq_motion} \rho_0\frac{\pd\bm{v}_1}{\pd t} = -\nabla p_1 \end{equation}

と，摂動量に関して線形な式に近似できる。 このような手続きを線形化（linearization）という。 連続の式も同様にして線形化すると

\begin{equation} \label{eq:sound_wave_eq_continuity} \frac{\pd\rho_1}{\pd t} +\rho_0 \nabla\cdot\bm{v}_1 =0 \end{equation}

を得る。

圧力は2つの状態量を決めれば定まる。 そこで，エントロピー密度$s$と密度$\rho$を変数に選び，$p=p(s,\rho)$とすれば，$p$の全微分は

\begin{equation} dp =\left(\frac{\pd p}{\pd s}\right)_\rho ds +\left(\frac{\pd p}{\pd \rho}\right)_s d\rho \end{equation}

となる。 運動が断熱的であれば$ds=0$であるから，平衡値からの微小変異$p_1=p-p_0$と$\rho_1=\rho-\rho_0$に関して

\begin{equation} \label{eq:sound_wave_eq_adiabatic} p_1 = \left(\frac{\pd p}{\pd\rho_0}\right)_s \rho_1 \end{equation}

が成り立つ。

音波の式

こうして，未知変数$p_1$，$\rho_1$および$\bm{v}_1$に対して，3本の式(\ref{eq:sound_wave_eq_motion})，(\ref{eq:sound_wave_eq_continuity})および(\ref{eq:sound_wave_eq_adiabatic})が得られた。 (\ref{eq:sound_wave_eq_adiabatic})を時間で微分し，(\ref{eq:sound_wave_eq_continuity})を用いて$\rho_1$を消去すると

\begin{equation} \frac{\pd p_1}{\pd t} =\rho_0 \left(\frac{\pd p}{\pd\rho_0}\right)_s \nabla\cdot\bm{v}_1 =0 \end{equation}

となり，これを再び時間で微分し，(\ref{eq:sound_wave_eq_motion})を用いて$\bm{v}_1$を消去すると

\begin{equation} \begin{split} \frac{\pd^2 p_1}{\pd t^2} =&-\rho_0 \left(\frac{\pd p}{\pd\rho_0}\right)_s \nabla\cdot\frac{\pd\bm{v}_1}{\pd t} \\ % =&\left(\frac{\pd p}{\pd\rho_0}\right)_s \nabla\cdot\nabla p_1 \end{split} \end{equation}

すなわち，波動方程式

\begin{equation} \frac{\pd^2 p_1}{\pd t^2} =c_s^2 \nabla^2 p_1 \end{equation}

が得られる。 ここで

\begin{equation} \label{eq:sound_speed} c_s = \sqrt{\left(\frac{\pd p}{\pd\rho}\right)_s} \end{equation}

は音波の伝播速度，すなわち音速である。 理想気体であれば，断熱関係式$p=C\rho^\gamma$より

\begin{equation} c_s = \sqrt\frac{\gamma p}{\rho} \end{equation}

となる。

参考文献

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