固有時間と時間の遅れ

Keywords:

Introduction

特殊相対性理論の興味深い現象の代表例として挙げられる時間の遅れ。このことは，光速が不変であることを認めれば，比較的簡単な数式によって理解することができる。以下，このことを具体的に示す。

世界間隔

互いに一定の相対速度で運動する2つの慣性系 $K$ と $K^{'}$ を考える。 $K$ 系におけるある点から別の点に光速で信号を送る。信号が達するまでにかかる時間を $Δ t$ とすると，その間に光が進む空間距離 $\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} + (Δ z)^{2}}$ は， $c Δ t$ と等しくなるので

\begin{array}{r} (1) & (Δ s)^{2} \equiv (c Δ t)^{2} - (Δ x)^{2} - (Δ y)^{2} - (Δ z)^{2} = 0 \end{array}

が成り立つ。一方，同じ事象を $K^{'}$ から眺めると，空間距離と時間間隔は異なるが，光速度は不変であるから

\begin{array}{r} (2) & (Δ s^{'})^{2} \equiv (c Δ t^{'})^{2} - (Δ x^{'})^{2} - (Δ y^{'})^{2} - (Δ z^{'})^{2} = 0 \end{array}

となる。ここで， $K^{'}$ 系から見た量であることを示すため，プライムを付けた。

これらの時間，空間幅を無限小に小さくとれば，( $1$ )および( $2$ )は

\begin{array}{r} (3) & d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2} - d y^{2} - d z^{2} = c^{2} d t^{' 2} - d x^{' 2} - d y^{' 2} - d z^{' 2} = 0 \end{array}

と表せる。すなわち $d s^{2} = 0$ であれば， $d s^{' 2} = 0$ でもある。この $d s^{2}$ の不変性は $0$ でない場合も一般に成り立ち， $d s$ は，4次元時空内の2点間のある種の距離を表しているとみなされ，世界間隔や世界距離と呼ばれる。

固有時間

世界間隔の不変性から導ける興味深い性質の1つに，時間の遅れの現象がある。動いている時計を観察するシチュエーションを考えよう。静止した系からみると，時計は時間 $d t$ の間に $\sqrt{d x^{2} + d y^{2} + d z^{2}}$ 動く。一方時計と共に動く系では時計は静止しているため空間的な変位はない。この系での時間間隔 $d t^{'}$ は，上述の世界間隔の不変性

\begin{array}{r} (4) & d s^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2} - d y^{2} - d z^{2} = c^{2} d t^{' 2} \end{array}

から

\begin{array}{r} (5) & d t^{'} = d t \sqrt{1 - \frac{d x^{2} + d y^{2} + d z^{2}}{c^{2} d t^{2}}} \end{array}

とわかる。ここで

\begin{array}{r} (6) & v \equiv \frac{\sqrt{d x^{2} + d y^{2} + d z^{2}}}{d t} \end{array}

は静止系から見た動いている時計の速度なので( $5$ )は

\begin{array}{r} (7) & d τ \equiv d t^{'} = d t \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} \end{array}

と表せる。これを，静止系から見た時間間隔 $t_{i}$ から $t_{f}$ で積分すれば

\begin{array}{r} (8) & τ = \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} \end{array}

と，運動する系に固定された時計が示す時間の経過を求めることができる。この時間を固有時間という。

時間の遅れ

( $8$ )を見てわかることは，動いている系での時間はゆっくり進むことである。これを示す例としてよく挙げられるのが，ミューオンの寿命だ。ミューオンは宇宙線が大気に侵入してくる際に生成されるのだが，非常に不安定であり，静止系で測って $\sim 10^{- 6}$ 秒ほどで崩壊してしまうため，光速に近い速度で降りそそいできても地上には到達しないはずだが，実際には地上で観測することができる。

しかし，ミューオンの固有時間を計算することで，光速に近い速さで運動するミューオンの寿命が地上に到達するのに十分な長さに伸びることがわかり，矛盾がないことが示される。