特殊相対論におけるLagrangianとHamiltonian

Keywords:

相対性理論 Lagrangian Hamiltonian 最小作用の原理特殊相対性理論 Albert Einstein

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Introduction

相対論的な粒子の運動を定式化するために，相対論的なLagrangianと作用およびHamiltonianを，発見的な方法で導く。

非相対論的Lagrangianとその問題

まず，復習として，非相対論的な自由粒子の場合を思い出してみると，Lagrangianは運動エネルギーで与えられる：

\begin{equation} \label{eq:nonrelativistic_L} L=\frac{1}{2}mv^2 \end{equation}

しかしこのLagrangianから出てくる運動方程式はNewtonの運動方程式であって，相対論的な効果が含まれていないことは明らかである。

そこで，相対論的な効果を含んだ運動を記述するためには，別のLagrangianを見出す必要がある。相対論的な自由粒子のLagrangianとしては，運動方程式が2階より高階の微分を含まないことに加え，Lorentz変換で不変であり，かつ非相対論的極限で(\ref{eq:nonrelativistic_L})に帰着するものでないといけない。

発見的方法

さて，『固有時間と時間の遅れ』のところで，世界間隔$ds$は，座標の1階微分までを含むLorentz不変なスカラーであることを見た。そのため，この量に作用の次元に合わせるためになんらかの定数$\alpha$をかけた

\begin{equation} S=\alpha \int ds =\alpha c \int \sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}} dt \end{equation}

という形の作用を考えてみる（作用の次元から，$\alpha$は質量かける速さの次元でないといけない）。すなわちこの場合のLagrangianは

\begin{equation} L = \alpha c \sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}} \end{equation}

である。そして，この量は

\begin{equation} v/c \ll 1 \end{equation}

において

\begin{equation} \label{eq:L_expansion} L \simeq \alpha c \left(1-\frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}}\right) = \alpha c -\frac{\alpha v^2}{2c} \end{equation}

となり，$\alpha = -mc$と選ぶことで

\begin{equation} L \simeq -mc^2 +\frac{mv^2}{2} \end{equation}

と，確かに運動方程式に寄与しない定数項を除いて非相対論的なLagrangian (\ref{eq:nonrelativistic_L})に一致することがわかる。

$E=mc^2$

すなわち，相対論的な自由粒子のLagrangianおよび作用はそれぞれ

\begin{equation} L = mc^2 \sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}} \end{equation}

および

\begin{equation} S = mc \int ds = mc^2 \int \sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}} \end{equation}

とすることが自然であることがわかった。これらの関数の形がわかれば，後は非相対論的な場合と同様の手続きによって，相対論的な運動量

\begin{equation} p_i=\frac{\partial L}{\partial v^i} =-m c^{2}\left(-\frac{v_i}{c^{2}}\right) \frac{1}{\sqrt{1-v^2 / c^2} } =\frac{m v_i}{\sqrt {1-v^2/c^2 }} \end{equation}

および，それを用いてHamiltonian

\begin{equation} \begin{split} H=p_i v^i - L =& \frac{m v^{2}}{\sqrt {1-v^2/c^2 }}+mc^{2} \sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}} \\ =& \frac{mc^2}{ \sqrt{1-v^2/c^2 }} \end{split} \end{equation}

が得られる。

Hamiltonianは相空間関数としての系の全エネルギーであるから，以下これを$E$と記そう。 (\ref{eq:L_expansion})と同じように，このHamiltonianを$v/c$で展開することで

\begin{equation} E = mc^2 + \frac{1}{2}mv^2 + \cdots \end{equation}

が得られ，非相対論的な極限で$mc^2$を除いて非相対論的な運動エネルギーと一致する。また，$v=0$の場合は

\begin{equation} E=mc^2 \end{equation}

となり，良く知れた質量とエネルギーの等価性を示す関係式が得られる。

References

Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1976). Mechanics 3rd ed. (Course of Theoretical Physics). Elsevier Science.
――(1986). 力学 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程). 広重徹, 水戸巌訳. 東京図書.

Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1975). The Classical Theory of Fields: Landau and Lifshitz: Course of Theoretical Physics, Volume 2. 3rd Revised English ed. (6th Russian ed.). Pergamon Press.
――(1978). 場の古典論（原書第６版） (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程). 恒藤敏彦 & 広重訳. 東京図書.