電磁誘導の法則

Dr. SSS 2019/05/31 - 21:58:37 電磁気学
はじめに

ここでは,電磁誘導の法則について説明するが,画像のような現象の簡単な説明だけが必要だという人は,一番最後の銅筒とネオジウム磁石の項まで飛ばして読んでほしい。


keywords: 電磁気学, 電磁誘導, Maxwell方程式, Michael Faraday

内容

Lenzの法則

閉じた回路を貫く磁束が時間的に変化するとき,その変化に比例して回路に起電力が生じる。 その起電力の向きは,磁束の変化を妨げる方向に電流を生じる向きで, 磁束の変化が回路の運動によるものなら,誘導電流に働く力はこの運動を妨げる方向を向く。 この誘導電流の方向を指定する法則を,Lenzの法則という。


時間変化する磁場

閉回路が静止していれば,閉じた経路$C$の間を貫く磁束は

\begin{align} \Phi_B =\int_S \bm{B}\cdot d\bm{S} \end{align}

と書ける。 ここで,$S$は$C$を境界とする面。 これより,誘導起電力は

\begin{align} \label {indV} V=\oint_C \bm{E}\cdot d\bm{l} =-\frac{d\Phi_B}{dt} \end{align}

と書ける。 右辺の負号がLenzの法則に対応するもので,磁束が減少している場合には誘導電流による磁場が磁束の減少を妨げる方向に,磁束が増加している場合には誘導電流による磁場が磁束の増加を妨げる方向に起電力が誘導されるということを意味している。 (\ref{indV})にStokesの定理を使うことで

\begin{align} \nabla\times \bm{E} = -\frac{\pd \bm{B}}{\pd t} \end{align}

と微分形も得られる。

式(2)および(3)はMaxwell方程式の1つである。 Maxwell方程式の他の式についてはコチラを参照。





磁場を横切る導体

磁場が定常な場合でも,導体が速度$\bm{v}$でこの磁場中を運動すると,Lorentz力$\bm{F}=q\bm{v}\times\bm{B}$が回路中の電子に働く。 これは,電場$\bm{E}=\bm{v}\times\bm{B}$が生じすることに相当する。 よって,このとき回路に生じる起電力は,閉曲線に沿って線積分することで

\begin{align} V=\oint (\bm{v}\times\bm{B})\cdot d\bm{l} \end{align}

となる。 これらの法則を,Faraday-Neumannの電磁誘導の法則,あるいは単に電磁誘導の法則(law of induction)などという。


銅筒とネオジウム磁石

改めて,電磁誘導の法則とは,回路を貫く磁場が変化すると,その変化を妨げるような磁場を作る電流が誘導される,という現象であった。

この電磁誘導によって生じる興味深い現象の一例が,ネオジウム磁石を銅のような金属筒に落とすと,磁石がゆっくり落下していくという現象だ。 ネオジウム磁石を使うのは磁力が強く,観察しやすいためである。

磁石が落下するのに伴って,ある高さの閉曲線を横切る磁場が変化する。 上の方では,閉曲線を貫く磁場が減少するため,その減少を抑える向きに誘導磁場が生じる。

反対に,下の方では貫く磁場が増えるため,その増加を抑える方向に磁場が誘導される。これらの磁場の引き合いと反発により上向きの力が生じ,正味の下向きの力が減ることで,落下が重力の影響しかない場合と比べ,ゆっくりになるのである。

◎は,画面に対してこっち向きを表しており,×は向こう向きを表している。


参考文献


自然科学に関する質問やノート作りは『AfterSchool』で。