Maxwellの方程式の導出I：Gaussの法則

Keywords:

James Clerk Maxwell Carl Friedrich Gauss 電磁気学 Maxwellの方程式

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Introduction

ここでは，Maxwellの方程式のうち，Gaussの法則（微分形）

\begin{align} \notag \nabla\cdot\bm{E} =& \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \notag \nabla \cdot \bm{B} =& 0 \end{align}

（および積分系）

\begin{align} \notag \int_{S}^{\ } \bm{E} \cdot d\bm{S} =& \frac{q}{\varepsilon_0} \\ \notag \int_{S}^{\ } \bm{B} \cdot d\bm{S} =& 0 \end{align}

を導く。

Coulombの法則と電場

静電場の基本法則について復習しよう。例えば2つの荷電粒子が存在する場合を考えたとき，「それらの粒子同士は，互いの電荷に比例し，互いの距離の２乗に反比例する力を及ぼしあう」というのが経験的に得られたCoulombの法則（Coulomb's law）

\begin{equation} \label{eq:coulomb_force} \bm{F}_{12} = k\frac{q_1 q_2(\bm{x}_1-\bm{x}_2)}{|\bm{x}_1-\bm{x}_2|^3} =- \bm{F}_{21} \end{equation}

である。 $(\bm{x}_1-\bm{x}_2)/|\bm{x}_1-\bm{x}_2|$は粒子間をつなぐ方向の単位ベクトルであることに注意。 $k$は比例定数である。

しかしこの表現は，互いの粒子がどれだけ離れていても，瞬時に相互作用を及ぼす遠隔作用を表しており，物理的に受け入れられるものではなかった。そこで導入されたのが場（field）という概念である。

電場（electric field）

\begin{equation} \label{eq:Efield} \bm{E} = k\frac{q_2(\bm{x}_1-\bm{x}_2)}{|\bm{x}_1-\bm{x}_2|^3} \end{equation}

を導入して，(\ref{eq:coulomb_force})を

\begin{equation} \bm{F}_{12} =q_1 \bm{E} \end{equation}

と書き直すことで，直接荷電粒子同士が相互作用するのではなく，一方の電荷が独立に作る場の作用によってもう一方に力が及ぼされるという表現に置き換えられる。複数の電荷が存在している場合，それらの粒子が作る場は，それぞれの場の和

\begin{equation} \bm{E}(\bm{x}) =k \sum_i\frac{q_i(\bm{x}-\bm{x}_i)}{|\bm{x}-\bm{x}_i|^3} \end{equation}

となる。

電場$\bm{E}$は，空間座標$\bm{x}$のベクトル関数（より一般には$t$にも依存する）であり，空間の各点に対応する矢印を描くことで視覚的なイメージを構築できる。このとき，その矢印を接線として曲線を描いていくことで，場のある種の流れを描写することができる。電場の場合はこれを電気力線（electric field line）という（図1）。

図1：電荷$q$を中心とする電気力線のイメージ

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電場のGaussの法則

では，その電場の発散を考えてみよう。簡単のために，電荷$q$を持つ荷電粒子が原点に静止しているとし，それを半径$r$，表面積$S$，体積$V$の球で囲ってしまおう。すると，その球面を貫く電場は

\begin{equation} \int_{S}^{\ }\bm{E}\cdot d\bm{S}=4\pi r^2 E \end{equation}

となる。ここで$\bm{n}$を法線ベクトルとして，$d\bm{S}=\bm{n}dS$である。一方電場の定義(\ref{eq:Efield})より

\begin{equation} 4\pi r^2 E = 4\pi r^2 k\frac{q}{r^2}= 4\pi k q \end{equation}

となる。よって

\begin{equation} \label{eq:Gauss_law_int} \int_{S}^{\ }\bm{E}\cdot d\bm{S}= 4\pi k q \end{equation}

が成り立つことがわかる。これが，積分系のGaussの法則（integral form of Gauss' law）である。この関係は，『Gaussの発散定理』と同様の議論によって，電荷を囲む曲面の形によらず成り立つことが示せる。

係数の$4\pi$を処理するために，比例定数$k$を

\begin{equation} k \equiv \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \end{equation}

と選択してしまう。 $4\pi$を抜きだして残る

\begin{equation} \varepsilon_0 = 8.854\times 10^{-12} \ \mathrm{F/m} \end{equation}

を，真空中の誘電率（permittivity of vacuum）というすると(\ref{eq:Gauss_law_int})は

\begin{equation} \label{eq:Gauss_law_int2} \int_{S} \bm{E} \cdot d\bm{S} = \frac{q}{\varepsilon_0} \end{equation}

と書き換えられる（ここでは特に断りがない限り，古典電磁気学の記述にはMKSA単位系/SIを採用する）。

また，(\ref{eq:Gauss_law_int2})の左辺はGaussの発散定理を用いることで，体積積分

\begin{equation} \int_{S}^{\ } \bm{E} \cdot d\bm{S} = \int_{V}\left(\nabla\cdot\bm{E}\right)dV \end{equation}

に書き換えられる。一方，電荷も，電荷密度$\rho$を用いて

\begin{equation} q=\int_V \rho dV \end{equation}

と表すことができるため，(\ref{eq:Gauss_law_int2})は

\begin{equation} \int_{V}\left(\nabla\cdot\bm{E} - \frac{\rho}{\ep_0} \right)dV=0 \end{equation}

と書き換えられる。任意の領域でこの関係が成り立つため，微分系のGaussの法則（differential form of Gauss' law）

\begin{equation} \nabla\cdot\bm{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \end{equation}

が得られる。

磁場のGaussの法則

次に，磁場の発散であるが，もし磁場に発散が存在するとすると，磁場の湧き出しか吸い込みがあるということになる。しかしそのような極，すなわち磁気モノポールは現実には見つかっておらず，磁力線は始点も終点を持たない。よって，磁場の発散はゼロとなり

\begin{equation} \int_{S} \bm{B} \cdot d\bm{S} =0 \end{equation}

あるいは

\begin{equation} \nabla \cdot \bm{B}=0 \end{equation}

が得られる。

図2：磁力線のイメージ。どのような面で囲っても（図中の長方形に対応）その面に入った力線は必ずどこかから面を出ていくから，発散は常に0になる。

References

Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (2011). The Feynman Lectures on Physics, Vol. II: The New Millennium Edition: Mainly Electromagnetism and Matter (Feynman Lectures on Physics). Basic books.
――(1986). ファインマン物理学〈3〉電磁気学. 宮島龍興訳. 岩波書店.

Fitzpatrick, R. (2010). Maxwells Equations and the Principles of Electromagnetism. Laxmi Publications, Ltd.

兵頭俊夫. (1999). 電磁気学. 裳華房.

小宮山進 & 竹川敦. (2015). マクスウェル方程式から始める電磁気学. 裳華房.

長岡洋介. (1982). 電磁気学I――電場と磁場. 岩波書店.