導体の静電場とエネルギー

Keywords:

Introduction

金属は，多数の自由電子を持つ。このように自由に動ける電荷を持ち，電気を伝える物質を導体（conductor）という。ここでは，導体の基本的な電気的性質を調べる。

導体内部

導体を静電場 $E_{0}$ の中に置くと，それに応じて電荷の移動，すなわち電流が生じ，表面に新たな電場 $E^{'}$ が現れる。この電荷の再分布は，元の電場を打ち消し， $E = E_{0} + E^{'} = 0$ となるまで続く。よって，定常状態（ $\partial / \partial t = 0$ ）で静電的な場合，すなわち

\begin{matrix} (1) & E = - \nabla ϕ \end{matrix}

である場合には，導体内部の電場は外部駆動がなければゼロである。エネルギーバランスの観点からもこの結論が得られる。電磁場のエネルギー密度 $u$ の保存則は

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial}{\partial t} u = - j \cdot E - \nabla \cdot S \end{matrix}

となるが，内部に電場が存在すれば電流も存在し，したがって右辺の散逸項はゼロにならない。したがって，何らかのエネルギー供給 $- \nabla \cdot S > 0$ がなければ，定常状態を保つことはできない。

ただし，これは導体が一様であると仮定した場合の話である。例えば温度が不均一である場合

\begin{matrix} (3) & j = σ (E - α \nabla T) \end{matrix}

のように，電流は温度勾配によっても駆動されうる（ $σ$ は伝導率， $α$ は温度勾配駆動の影響を表す係数）。右辺の2つの駆動力が釣り合えば，電場がゼロでなくとも電流は流れない。以下では断りのない限り，温度分布も一様な導体を仮定する。

静電場がゼロということは，静電ポテンシャルが空間的に一様ということである。また， Gaussの法則より導体中の任意の閉曲面内部に電荷は存在しない。すなわち

\begin{matrix} (4) & ε_{0} \oint E \cdot d S = Q = 0 \end{matrix}

であるから，導体内では電荷もゼロである。

まとめると，導体内では

\begin{matrix} (5) & E = - \nabla ϕ = 0, ϕ = const., \overset{―}{ρ} = 0 \end{matrix}

が成り立つ。

導体表面

続いて，導体の表面の静電的性質について調べよう。表面上の境界条件は，電場が静電的であるがゆえに

\begin{matrix} (6) & \nabla \times E = 0 \end{matrix}

によって定められなくてはならない（任意のスカラーの勾配の回転はゼロ）。また，上述の性質より，導体中では，電荷はその表面に分布することになる。よって， $z$ 軸を，面上のある点における法線ベクトル $\hat{n}$ に平行に取ると，平均電荷密度は，表面位置を $z = z_{0}$ として

\begin{matrix} (7) & \overset{―}{ρ} (x, y, z) = σ (x, y) δ (z - z_{0}) \end{matrix}

と表せる。ここで $σ$ は面電荷密度である（デルタ関数 $δ (z - z_{0})$ の次元は長さの逆数）。

改めて，我々はマクロな現象を扱うために，様々な理想化された記述を用いていることに注意しよう。 ( $7$ )もその例である。実際の物質では，微小ではあるが有限の厚みの中に電荷が分布し，電場は導体内部から外部にかけて連続的に変化している。また，個々の電荷に距離がゼロまで近づくことはできない。よって，電場の面に垂直な成分 $E_{z}$ は有限であるとみなせ，その面に沿った方向への変化率 $\partial E_{z} / \partial x$ および $\partial E_{z} / \partial y$ も有限な値に留まる。すると，これらを成分に持つ

\begin{matrix} (8) & (\nabla \times E)_{x} = \frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial z} \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & (\nabla \times E)_{y} = \frac{\partial E_{x}}{\partial z} - \frac{\partial E_{z}}{\partial x} \end{matrix}

がゼロであるためには， $\partial E_{x} / \partial z$ および $\partial E_{y} / \partial z$ が連続でなければならないことになる。もし不連続であれば，そこで値が無限大になり，したがって( $8$ )および( $9$ )がゼロにならないためである。ところが，内部電場はゼロであるから，表面近傍で $z$ 微分が連続であるということは，外部でも電場の接成分 $E_{x} = - \partial ϕ / \partial x$ および $E_{y} = - \partial ϕ / \partial y$ はゼロでなくてはならないことになる。これより，静電場は常に面に垂直でなくてはならないこと，そして面に接な方向のポテンシャル勾配がゼロであること，すなわち面が等ポテンシャル面であることが結論付けられる。

垂直成分は，Gaussの法則

\begin{matrix} (10) & \int \nabla \cdot E d V = \oint E_{n} d S = \frac{1}{ε_{0}} \int \overset{―}{ρ} d V \end{matrix}

によって決定できる。導体表面の両側から無限小離れた位置に面を取り，それらをつないでできる微小な円柱領域を考え，Gaussの法則を適用すると，( $7$ )より

\begin{matrix} (11) & \oint E_{n} d S = \frac{1}{ε_{0}} \int σ d S \end{matrix}

となり

\begin{matrix} (12) & E_{n} = - \frac{\partial ϕ}{\partial n} = \frac{σ}{ε_{0}} \end{matrix}

が得られる。ここで， $\partial / \partial n = \hat{n} \cdot \nabla$

導体の静電場のエネルギー

帯電した導体の電場のエネルギーは

\begin{matrix} (13) & U = \frac{ε_{0}}{2} \int | E |^{2} d V \end{matrix}

で与えられる。ここで，積分は導体外部の空間全体で取られる。これを

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} U = & - \frac{ε_{0}}{2} \int E \cdot \nabla ϕ d V \\ = & - \frac{ε_{0}}{2} \int \nabla \cdot (ϕ E) d V + \frac{ε_{0}}{2} \int ϕ \nabla \cdot E d V \end{aligned} \end{matrix}

と変形する。

右辺2項目は，導体外部では電荷がないことによりゼロである。右辺1項目は，電場は面に垂直な成分しか持たないことから

\begin{matrix} (15) & - \frac{ε_{0}}{2} \int \nabla \cdot (ϕ E) d V = - \frac{ε_{0}}{2} \int \frac{\partial}{\partial n} (ϕ E_{n}) d n d S \end{matrix}

と変形できる。ここで，積分 $\int d n$ の下限は導体表面上の点で，上限は無限遠である。無限遠で $E \to 0$ という仮定より後者の寄与はなくなるから，導体表面上の面積分（ $n$ 積分の下限だから負号が付く）が残り

\begin{matrix} (16) & U = \frac{ε_{0}}{2} \oint ϕ E_{n} d S \end{matrix}

となる。導体表面は等電位面であったことから， $ϕ$ は積分の外に出せる。残る積分は面上の全電荷を与える。複数の導体がある場合の一般的な表現は， $a$ 番目の導体の面上のポテンシャルを $ϕ_{a}$ ，全電荷を $Q_{a}$ とすると

\begin{matrix} (17) & U = \frac{1}{2} \sum_{a} Q_{a} ϕ_{a} \end{matrix}

となる。

References

兵頭俊夫. (1999). 電磁気学. 裳華房.

Landau, L. D., & Lifshits, E. M. (1984). Electrodynamics of continuous media (Course of Theoretical Physics). 2nd ed. Oxford: Pergamon press.
――(1982). 電磁気学 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程) 1 & 2. ‎ 井上健男ほか訳. 東京図書.

砂川重信. (1999). 理論電磁気学. 紀伊國屋書店.