固有空間と固有空間分解

ここでは，固有空間と，それによるベクトル空間の直和分解について説明する。

固有空間

$V$を$C$上のベクトル空間，$A$を$V$の線形変換とする。 $A$の固有値$\lambda$に対して定義される$V$の部分空間

を，固有値$\lambda$に属する（対応する）固有空間（eigenspace）という。 同じものを$W_\lambda$のようにも記す。

ベクトル空間$V$の部分空間$W$が

を満たすとき，$W$は$A$に対して不変（invariant），または$A$-不変であるというが，線形変換$A$の固有ベクトルは$A$によって定数倍されるだけであるため，$A$の固有空間はすべて$A$-不変である。

固有空間分解

ベクトル空間$V$の部分空間$V_1,V_2$の和$V_1+V_2$を

で定義する。 特に，$V_1 \cap V_2=\emptyset$であるとき，この和を直和（direct sum）といい，$V_1 \oplus V_2$と表す。

この固有空間によるベクトル空間の直和分解を，固有空間分解（eigenspace decomposition）という。