テンソルの定義
ベクトル空間$V$上の線形関数もまたベクトル空間を構成し,それを$V$の双線形空間と呼ぶのであった。
また,それぞれの引数について線形性
\begin{align}
B(ax+bx',y) =& aB(x,y)+bB(x',y) \\
B(x,ay+by') =& aB(x,y)+bB(x,y')
\end{align}
を満たす$V\times V$上の線形関数(双線形関数)の全体も,ベクトル空間を構成するのであった。
これの引数の数を任意の数に一般化したものを多重線形関数(multilinear function)という。
そしてこれにより,次のような量を導入できる:
定義:
$r$個のベクトルから実数を与える多重線形関数
\begin{equation}
T:
\underbrace{V\times V \times \cdots \times V}_{r} \to R
\end{equation}
を,$r$階の共変テンソル(covariant tensor of rank $r$)という。
$r$階の共変テンソルが作るベクトル空間を
\begin{equation}
\underbrace{V^* \otimes V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_{r}
\end{equation}
のように記し,双対空間$V^*$のテンソル積(tensor product)と呼ぶ。
また,$V^*$の2つの元$\alpha,\beta \in V^*$から
\begin{equation}
\alpha \otimes \beta (\bm{u},\bm{v})
\equiv
\alpha (\bm{u})\beta (\bm{v})
\end{equation}
によって共変テンソル$\alpha \otimes \beta$を作ることができ,この操作も$\alpha$と$\beta$のテンソル積という。
議論を逆戻りすれば,$R$上のベクトル空間$V$の双対空間$V^*$の元である共変ベクトルは,1つのベクトルを実数に写すから1階の共変テンソルである。
テンソルの成分
$V$上で基底$\{ \bm{e}_i \}_{i=1}^n$が定まっている場合,$r$階の共変テンソル$T$は
\begin{equation}
\label{eq:r-tensor_operation}
\begin{split}
T(\underbrace{\bm{u},\bm{v},...,\bm{w}}_{r})
=&
T(u^{i}\bm{e}_{i},v^{j}\bm{e}_{j},...,w^{k}\bm{e}_{k}) \\
=&
u^{i}v^{j}...w^{k}
T(\bm{e}_{i},\bm{e}_{j},...,\bm{e}_{k})
\end{split}
\end{equation}
となる。
ここで,$T$の成分についても,ベクトルの場合の自然な拡張として
\begin{equation}
T_{i,j,...,k}
\equiv
T(\bm{e}_i,\bm{e}_j,...,\bm{e}_k)
\end{equation}
と定義すると(\ref{eq:r-tensor_operation})は
\begin{equation}
\label{eq:r-tensor_operation2}
T(\bm{u},\bm{v},...,\bm{w})
=
T_{ij,...,k}u^i v^j,...,w^k
\end{equation}
と表現できる。
$T_{ij,...,k}$は基底の取り方に依存するが,(\ref{eq:r-tensor_operation2})の左辺はスカラー(実数)であり,基底によらない。
例:
実Euclid空間における内積とは
\begin{equation}
g(\bm{x},\bm{y})=\bm{x}\cdot\bm{y} \in R
\end{equation}
のように,2つのベクトルから実数を与える双線形関数$g:V\times V \to R$ことであった。
したがってこれは,2階の共変テンソルとみなすこともできる。
基底$\{\bm{e}_i\}$上では
\begin{equation}
g_{ij} =g(\bm{e}_i,\bm{e}_j)=\bm{e}_i\cdot\bm{e}_j
\end{equation}
である。
ベクトル空間の次元を$n$とした場合,これらの成分は$n\times n$の対称行列となる。
このテンソルを,計量テンソル(metric tensor)という。
Euclid空間上では
\begin{equation}
\label{eq:Euclid_metric}
\bm{e}_i\cdot\bm{e}_j=\delta_{ij}
\end{equation}
であったが,一般にはそうではない。
計量(\ref{eq:Euclid_metric})を,Euclid計量といい,Euclid空間とは,Euclid計量を持つベクトル空間のことであるといいなおすことが出来る。
反変テンソルと混合テンソル
$V\times V\times \cdots \times V$から$R$への線形関数として共変テンソルが定義できるのと同様に,$V^*\times V^*\times \cdots \times V^*$から$R$への線形関数も定義できる:
定義:
$s$個の共変ベクトルから実数を与える多重線形関数
\begin{equation}
T:
\underbrace{V^*\times V^* \times \cdots \times V^*}_{s} \to R
\end{equation}
を,$s$階の反変テンソル(contravariant tensor of rank $s$)という。
さらに,
定義:
$r$個の反変ベクトルと$s$個の共変ベクトルから実数を与える多重線形関数
\begin{equation}
T:
\underbrace{V\times V \times \cdots \times V}_{r}
\times
\underbrace{V^*\times V^* \times \cdots \times V^*}_{s} \to R
\end{equation}
を,$(r,s)$型の混合テンソル(mixed tensor of type $(r,s)$)という。
振り返れば,共変テンソルおよび反変テンソルの定義は,混合テンソルの定義の特別な場合とみなせるから,$r$階の共変テンソルおよび$s$階の反変テンソルはそれぞれ$(r,0)$型テンソルおよび$(0,s)$型テンソルとも呼ばれる。
テンソルの変換則
$(r,s)$型テンソルの成分は
\begin{equation}
T^{i,...,j}_{\quad \quad k,...,l}
\equiv
T(\bm{e}^i,...,\bm{e}^j,\bm{e}_k,...,\bm{e}_l)
\end{equation}
で与えられる。
ここで基底の変換$\bm{e}'_{j'}=\Lambda^i_{\ j'} \bm{e}_i$および${\bm{e}'}^{j'}=\Lambda^{j'}_{\ i} \bm{e}^i$を行うと,テンソルの線形性から
\begin{equation}
\begin{split}
{T'}^{i',...,j'}_{\quad \quad k',...,l'}
=&
T(\Lambda^{i'}_{\ i}\bm{e}^i,...,\Lambda^{j'}_{\ j}\bm{e}^j,
\Lambda^k_{\ k'}\bm{e}_k,...,\Lambda^l_{\ l'}\bm{e}_l) \\
=&
\Lambda^{i'}_{\ i}...\Lambda^{j'}_{\ j}
\Lambda^k_{\ k'}...\Lambda^l_{\ l'}
T^{i,...,j}_{\quad \quad k,...,l}
\end{split}
\end{equation}
と変換される。