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テンソル

Dr. SSS 2023/01/26 - 10:19:12 線形代数とベクトル解析
はじめに


keywords: ベクトル解析, 線形代数, テンソル

内容

テンソルの定義

ベクトル空間$V$上の線形関数もまたベクトル空間を構成し，それを$V$の双線形空間と呼ぶのであった。 また，それぞれの引数について線形性

\begin{align} B(ax+bx',y) =& aB(x,y)+bB(x',y) \\ B(x,ay+by') =& aB(x,y)+bB(x,y') \end{align}

を満たす$V\times V$上の線形関数（双線形関数）の全体も，ベクトル空間を構成するのであった。 これの引数の数を任意の数に一般化したものを多重線形関数（multilinear function）という。 そしてこれにより，次のような量を導入できる：

定義： $r$個のベクトルから実数を与える多重線形関数

\begin{equation} T: \underbrace{V\times V \times \cdots \times V}_{r} \to R \end{equation}

を，$r$階の共変テンソル（covariant tensor of rank $r$）という。

$r$階の共変テンソルが作るベクトル空間を

\begin{equation} \underbrace{V^* \otimes V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_{r} \end{equation}

のように記し，双対空間$V^*$のテンソル積（tensor product）と呼ぶ。 また，$V^*$の2つの元$\alpha,\beta \in V^*$から

\begin{equation} \alpha \otimes \beta (\bm{u},\bm{v}) \equiv \alpha (\bm{u})\beta (\bm{v}) \end{equation}

によって共変テンソル$\alpha \otimes \beta$を作ることができ，この操作も$\alpha$と$\beta$のテンソル積という。

議論を逆戻りすれば，$R$上のベクトル空間$V$の双対空間$V^*$の元である共変ベクトルは，1つのベクトルを実数に写すから1階の共変テンソルである。

テンソルの成分

$V$上で基底$\{ \bm{e}_i \}_{i=1}^n$が定まっている場合，$r$階の共変テンソル$T$は

\begin{equation} \label{eq:r-tensor_operation} \begin{split} T(\underbrace{\bm{u},\bm{v},...,\bm{w}}_{r}) =& T(u^{i}\bm{e}_{i},v^{j}\bm{e}_{j},...,w^{k}\bm{e}_{k}) \\ =& u^{i}v^{j}...w^{k} T(\bm{e}_{i},\bm{e}_{j},...,\bm{e}_{k}) \end{split} \end{equation}

となる。 ここで，$T$の成分についても，ベクトルの場合の自然な拡張として

\begin{equation} T_{i,j,...,k} \equiv T(\bm{e}_i,\bm{e}_j,...,\bm{e}_k) \end{equation}

と定義すると(\ref{eq:r-tensor_operation})は

\begin{equation} \label{eq:r-tensor_operation2} T(\bm{u},\bm{v},...,\bm{w}) = T_{ij,...,k}u^i v^j,...,w^k \end{equation}

と表現できる。 $T_{ij,...,k}$は基底の取り方に依存するが，(\ref{eq:r-tensor_operation2})の左辺はスカラー（実数）であり，基底によらない。

例： 実Euclid空間における内積とは

\begin{equation} g(\bm{x},\bm{y})=\bm{x}\cdot\bm{y} \in R \end{equation}

のように，2つのベクトルから実数を与える双線形関数$g:V\times V \to R$ことであった。 したがってこれは，2階の共変テンソルとみなすこともできる。 基底$\{\bm{e}_i\}$上では

\begin{equation} g_{ij} =g(\bm{e}_i,\bm{e}_j)=\bm{e}_i\cdot\bm{e}_j \end{equation}

である。 ベクトル空間の次元を$n$とした場合，これらの成分は$n\times n$の対称行列となる。 このテンソルを，計量テンソル（metric tensor）という。

Euclid空間上では

\begin{equation} \label{eq:Euclid_metric} \bm{e}_i\cdot\bm{e}_j=\delta_{ij} \end{equation}

であったが，一般にはそうではない。 計量(\ref{eq:Euclid_metric})を，Euclid計量といい，Euclid空間とは，Euclid計量を持つベクトル空間のことであるといいなおすことが出来る。

反変テンソルと混合テンソル

$V\times V\times \cdots \times V$から$R$への線形関数として共変テンソルが定義できるのと同様に，$V^*\times V^*\times \cdots \times V^*$から$R$への線形関数も定義できる：

定義： $s$個の共変ベクトルから実数を与える多重線形関数

\begin{equation} T: \underbrace{V^*\times V^* \times \cdots \times V^*}_{s} \to R \end{equation}

を，$s$階の反変テンソル（contravariant tensor of rank $s$）という。

さらに，

定義： $r$個の反変ベクトルと$s$個の共変ベクトルから実数を与える多重線形関数

\begin{equation} T: \underbrace{V\times V \times \cdots \times V}_{r} \times \underbrace{V^*\times V^* \times \cdots \times V^*}_{s} \to R \end{equation}

を，$(r,s)$型の混合テンソル（mixed tensor of type $(r,s)$）という。

振り返れば，共変テンソルおよび反変テンソルの定義は，混合テンソルの定義の特別な場合とみなせるから，$r$階の共変テンソルおよび$s$階の反変テンソルはそれぞれ$(r,0)$型テンソルおよび$(0,s)$型テンソルとも呼ばれる。

テンソルの変換則

$(r,s)$型テンソルの成分は

\begin{equation} T^{i,...,j}_{\quad \quad k,...,l} \equiv T(\bm{e}^i,...,\bm{e}^j,\bm{e}_k,...,\bm{e}_l) \end{equation}

で与えられる。 ここで基底の変換$\bm{e}'_{j'}=\Lambda^i_{\ j'} \bm{e}_i$および${\bm{e}'}^{j'}=\Lambda^{j'}_{\ i} \bm{e}^i$を行うと，テンソルの線形性から

\begin{equation} \begin{split} {T'}^{i',...,j'}_{\quad \quad k',...,l'} =& T(\Lambda^{i'}_{\ i}\bm{e}^i,...,\Lambda^{j'}_{\ j}\bm{e}^j, \Lambda^k_{\ k'}\bm{e}_k,...,\Lambda^l_{\ l'}\bm{e}_l)　\\ =& \Lambda^{i'}_{\ i}...\Lambda^{j'}_{\ j} \Lambda^k_{\ k'}...\Lambda^l_{\ l'} T^{i,...,j}_{\quad \quad k,...,l} \end{split} \end{equation}

と変換される。

参考文献

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