双一次形式

双一次形式の定義

双一次形式$B$は，任意の$x,y$について$B(x,y)=B(y,x)$であるとき対称（symmetric），$B(x,y)=-B(x,y)$であるとき反対称（anti-symmetric）または歪対称（skew-symmetric），$B(x,x)=0$であるときシンプレクティック（symplectic）であるという。

行列表現

以下，$U=V$の場合に限って考える。 $V$の次元を$n$とし，その基底を$\{ \bm{e}_i \}_{i=1}^n$とすると，双一次形式は行列

によって一意に決定できる。 実際$x=\sum_i x^i \bm{e}_i$，$y=\sum_j y^j \bm{e}_j$とすると

である。

非退化性

$x,y \in V$に対し

とすれば，$B_y$は$V$上の線形関数となる。 任意の$y\in V$に対して$B(x,y)=0$なら，$x=0$であるとき，$B$は 非退化（non-degenerate）であるという。

非退化である場合，任意の$y\in V$について$B_x(y)=B(x,y)=0$なら，$x=0$ということであるが，これは，任意の$y$に対して

であれば

であることを意味している。 他方，上の条件は線形性より

でもあるから，このことは，写像$\varphi: V\to V^*,\ x\to B_x$が単射であることを意味している。 また，その逆も成り立つ。 なぜなら，$x$と$B_x$の対応関係が一対一でなければ，(\ref{eq:bilinear_x-x'})と(\ref{eq:bilinear_Bx-Bx'})の対応関係が保証されなくなるためである。 したがって，$V$と$V^*$の元は一対一に対応付けられる（$V$と$V^*$は同型である）。 よって

Euclid内積

上で導入した概念を用いて，実Euclid空間$R^n$における内積の定義を与えよう。 Euclid空間$R^n$上の内積とは，任意の2つの数ベクトル$\bm{x}=(x^1,...,x^n)$と$\bm{y}=(y^1,...,y^n)$を，実数に対応付ける非退化な関数

のことであり，以下のいくつかの性質を満たす。

まず，対称性

および双線形性

である。

さらに，同一のベクトル同士の内積について

であり，等式が成り立つときは$\bm{x}=0$に限られる。 $\bm{x}=0$でない場合，必ず正の値を取ることを正定値性（positive definiteness）という。

これらをまとめると，実Euclid空間における内積とは，「非退化で正定値かつ対称な双線形関数のこと」であるといえる。