電磁場のエネルギー

Dr. SSS 2019/06/19 - 17:02:44 1127 電磁気学
はじめに

Maxwellの方程式から,電磁場のエネルギーの流れを表す式を導出する。


keywords: 電磁気学

内容

導出

電磁場のエネルギーバランスの式を導出する。 導出には,Maxwell方程式の2つ

\begin{equation} \label{rot_E_eq1} \nabla\times\bm{E}+\frac{\pd \bm{B}}{\pd t} =0 \end{equation}

\begin{equation} \label{rot_B_eq2} \nabla\times\bm{B} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\pd \bm{E}}{\pd t} =\mu_0 \bm{j} \end{equation}

を用いる。

(\ref{rot_E_eq1})に$\bm{B}$を,(\ref{rot_B_eq2})に$\bm{E}$をかけると,それぞれ

\begin{equation} \bm{B}\cdot\left(\nabla\times\bm{E}+\frac{\pd \bm{B}}{\pd t}\right)=0 \end{equation}

\begin{equation} \bm{E} \cdot \left(\nabla\times\bm{B} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\pd \bm{E}}{\pd t} \right)=\mu_0 \bm{j}\cdot\bm{E} \end{equation}

になり,これらの差を取ると

\begin{equation} \bm{B}\cdot \frac{\pd \bm{B}}{\pd t} +\mu_0 \epsilon_0 \bm{E} \cdot \frac{\pd \bm{E}}{\pd t} -\bm{E}\cdot \nabla\times\bm{B} +\bm{B}\cdot \nabla\times\bm{E} = \mu_0 \bm{j}\cdot\bm{E} \end{equation}

を得る。 ここで

\begin{align} \frac{1}{2}\frac{\pd E^2}{\pd t} =\frac{1}{2}\frac{\pd (\bm{E}\cdot\bm{E})}{\pd t} =\bm{E} \cdot \frac{\pd \bm{E}}{\pd t} \end{align}

および($\bm{B}$についても同様),ベクトルの関係式

\begin{equation} \nabla \cdot (\bm{E}\times\bm{B}) = \bm{B}\cdot \nabla\times\bm{E} -\bm{E}\cdot \nabla\times\bm{B} \end{equation}

を用いると

\begin{equation} \label{eq:poynting_theorem} \frac{\pd}{\pd t} \left(\frac{\epsilon_0}{2}E^2 +\frac{1}{2\mu_0}B^2\right) +\frac{1}{\mu_0}\nabla \cdot (\bm{E}\times\bm{B}) =\bm{j}\cdot\bm{E} \end{equation}

が得られる。 これは,右辺のJoule熱をソース項とする連続の式の形をしており,エネルギーの流れの保存則となっている。 左辺1項目を場のエネルギー密度と呼び,2項目に現れる場のエネルギーフラックスに対応する

\begin{equation} \bm{S}\equiv \frac{1}{\mu_0} (\bm{E}\times\bm{B}) \end{equation}

を,Poyntingベクトル(Poynting vector)という。 この表記と合わせ,エネルギー密度を$u$とすれば,(\ref{eq:poynting_theorem})は

\begin{equation} \frac{\pd u}{\pd t} +\nabla \cdot \bm{S} =\bm{j}\cdot \bm{E} \end{equation}

と表せる。


参考文献