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Introduction
Maxwellの方程式から，電磁場のエネルギーの流れを表す式を導出する。導出
電磁場のエネルギーバランスの式を導出する。 導出には，Maxwell方程式の2つ
\begin{equation}
\label{rot_E_eq1}
\nabla\times\bm{E}+\frac{\pd \bm{B}}{\pd t}
=0
\end{equation}
\begin{equation}
\label{rot_B_eq2}
\nabla\times\bm{B} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\pd \bm{E}}{\pd t}
=\mu_0 \bm{j}
\end{equation}
を用いる。
(\ref{rot_E_eq1})に$\bm{B}$を，(\ref{rot_B_eq2})に$\bm{E}$をかけると，それぞれ
\begin{equation}
\bm{B}\cdot\left(\nabla\times\bm{E}+\frac{\pd \bm{B}}{\pd t}\right)=0
\end{equation}
と
\begin{equation}
\bm{E} \cdot \left(\nabla\times\bm{B} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\pd \bm{E}}{\pd t} \right)=\mu_0 \bm{j}\cdot\bm{E}
\end{equation}
になり，これらの差を取ると
\begin{equation}
\bm{B}\cdot \frac{\pd \bm{B}}{\pd t}
+\mu_0 \epsilon_0 \bm{E} \cdot \frac{\pd \bm{E}}{\pd t}
-\bm{E}\cdot \nabla\times\bm{B}
+\bm{B}\cdot \nabla\times\bm{E}
= \mu_0 \bm{j}\cdot\bm{E}
\end{equation}
を得る。 ここで
\begin{align}
\frac{1}{2}\frac{\pd E^2}{\pd t}
=\frac{1}{2}\frac{\pd (\bm{E}\cdot\bm{E})}{\pd t}
=\bm{E} \cdot \frac{\pd \bm{E}}{\pd t}
\end{align}
および（$\bm{B}$についても同様），ベクトルの関係式
\begin{equation}
\nabla \cdot (\bm{E}\times\bm{B})
=
\bm{B}\cdot \nabla\times\bm{E}
-\bm{E}\cdot \nabla\times\bm{B}
\end{equation}
を用いると
\begin{equation}
\label{eq:poynting_theorem}
\frac{\pd}{\pd t}
\left(\frac{\epsilon_0}{2}E^2 +\frac{1}{2\mu_0}B^2\right)
+\frac{1}{\mu_0}\nabla \cdot (\bm{E}\times\bm{B})
=\bm{j}\cdot\bm{E}
\end{equation}
が得られる。 これは，右辺のJoule熱をソース項とする連続の式の形をしており，エネルギーの流れの保存則となっている。 左辺1項目を場のエネルギー密度と呼び，2項目に現れる場のエネルギーフラックスに対応する
\begin{equation}
\bm{S}\equiv
\frac{1}{\mu_0} (\bm{E}\times\bm{B})
\end{equation}
を，Poyntingベクトル（Poynting vector）という。 この表記と合わせ，エネルギー密度を$u$とすれば，(\ref{eq:poynting_theorem})は
\begin{equation}
\frac{\pd u}{\pd t}
+\nabla \cdot \bm{S}
=\bm{j}\cdot \bm{E}
\end{equation}
と表せる。
References
――(2002, 2003). 電磁気学 上/下. 西田稔 訳. 吉岡書店.
――(1978). 場の古典論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程) . 恒藤 敏彦ほか訳. 東京図書.