電磁場のエネルギー

Dr. SSS 2019/06/19 - 17:02:44 電磁気学
はじめに

Maxwellの方程式から,電磁場のエネルギーの流れを表す式を導出する。


keywords: 電磁気学

内容

導出

Maxwellの方程式の2つ

\begin{align} \label {eq1} \nabla\times\bm{E}+\frac{\pd \bm{B}}{\pd t}=0 \\ \label {eq2} \nabla\times\bm{B} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\pd \bm{E}}{\pd t}=\mu_0 \bm{j} \end{align}

を用いる。

(\ref{eq1})に$\bm{B}$を,(\ref{eq2})に$\bm{E}$をかけると,それぞれ

\begin{align} \bm{B} \cdot \left(\nabla\times\bm{E}+\frac{\pd \bm{B}}{\pd t} \right)=0 \end{align}

\begin{align} \bm{E} \cdot \left(\nabla\times\bm{B} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\pd \bm{E}}{\pd t} \right) =\mu_0 \bm{j}\cdot\bm{E} \end{align}

になる。これらの差を取ると

\begin{align} \bm{B}\cdot \frac{\pd \bm{B}}{\pd t} +\mu_0 \epsilon_0 \bm{E} \cdot \frac{\pd \bm{E}}{\pd t} -\bm{E}\cdot \nabla\times\bm{B} +\bm{B}\cdot \nabla\times\bm{E} = \mu_0 \bm{j}\cdot\bm{E} \end{align}

となる。ここで

\begin{align} \frac{1}{2}\frac{\pd E^2}{\pd t} =\frac{1}{2}\frac{\pd (\bm{E}\cdot\bm{E})}{\pd t} =\bm{E} \cdot \frac{\pd \bm{E}}{\pd t} \end{align}

および($\bm{B}$についても同様),ベクトルの関係式

\begin{align} \nabla \cdot (\bm{E}\times\bm{B})= \bm{B}\cdot \nabla\times\bm{E} -\bm{E}\cdot \nabla\times\bm{B} \end{align}

を用いると

\begin{align} \label {EBE} \frac{\pd}{\pd t} \left( \frac{\epsilon_0}{2}E^2 +\frac{1}{2\mu_0}B^2 \right) +\frac{1}{\mu_0}\nabla \cdot (\bm{E}\times\bm{B}) =\bm{j}\cdot \bm{E} \end{align}

を得る。これは,右辺のJoule熱をソース項とする連続の式の形をしており,エネルギーの流れの保存則となっている。左辺1項目を場のエネルギー密度と呼び,2項目に現れる場のエネルギーフラックスに対応する

\begin{align} \bm{S}\equiv \frac{1}{\mu_0} (\bm{E}\times\bm{B}) \end{align}

を,Poyntingベクトルという。この表記を用いると(\ref{EBE})は

\begin{align} \frac{\pd}{\pd t} \left( \frac{\epsilon_0}{2}E^2 +\frac{1}{2\mu_0}B^2 \right) +\nabla \cdot \bm{S} =\bm{j}\cdot \bm{E} \end{align}

と表せる。



参考文献


自然科学に関する質問やノート作りは『AfterSchool』で。