電磁場のエネルギー
Dr. SSS
2019/06/19 - 17:02:44
電磁気学
導出
Maxwellの方程式の2つ
\begin{align}
\label {eq1}
\nabla\times\bm{E}+\frac{\pd \bm{B}}{\pd t}=0 \\
\label {eq2}
\nabla\times\bm{B} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\pd \bm{E}}{\pd t}=\mu_0 \bm{j}
\end{align}
を用いる。
(\ref{eq1})に$\bm{B}$を，(\ref{eq2})に$\bm{E}$をかけると，それぞれ
\begin{align}
\bm{B} \cdot \left(\nabla\times\bm{E}+\frac{\pd \bm{B}}{\pd t} \right)=0
\end{align}
と
\begin{align}
\bm{E} \cdot \left(\nabla\times\bm{B} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\pd \bm{E}}{\pd t} \right)
=\mu_0 \bm{j}\cdot\bm{E}
\end{align}
になる。これらの差を取ると
\begin{align}
\bm{B}\cdot \frac{\pd \bm{B}}{\pd t}
+\mu_0 \epsilon_0 \bm{E} \cdot \frac{\pd \bm{E}}{\pd t}
-\bm{E}\cdot \nabla\times\bm{B}
+\bm{B}\cdot \nabla\times\bm{E}
= \mu_0 \bm{j}\cdot\bm{E}
\end{align}
となる。ここで
\begin{align}
\frac{1}{2}\frac{\pd E^2}{\pd t}
=\frac{1}{2}\frac{\pd (\bm{E}\cdot\bm{E})}{\pd t}
=\bm{E} \cdot \frac{\pd \bm{E}}{\pd t}
\end{align}
および（$\bm{B}$についても同様），ベクトルの関係式
\begin{align}
\nabla \cdot (\bm{E}\times\bm{B})=
\bm{B}\cdot \nabla\times\bm{E}
-\bm{E}\cdot \nabla\times\bm{B}
\end{align}
を用いると
\begin{align}
\label {EBE}
\frac{\pd}{\pd t} \left( \frac{\epsilon_0}{2}E^2 +\frac{1}{2\mu_0}B^2 \right)
+\frac{1}{\mu_0}\nabla \cdot (\bm{E}\times\bm{B})
=\bm{j}\cdot \bm{E}
\end{align}
を得る。これは，右辺のJoule熱をソース項とする連続の式の形をしており，エネルギーの流れの保存則となっている。左辺1項目を場のエネルギー密度と呼び，2項目に現れる場のエネルギーフラックスに対応する
\begin{align}
\bm{S}\equiv
\frac{1}{\mu_0} (\bm{E}\times\bm{B})
\end{align}
を，Poyntingベクトルという。この表記を用いると(\ref{EBE})は
\begin{align}
\frac{\pd}{\pd t} \left( \frac{\epsilon_0}{2}E^2 +\frac{1}{2\mu_0}B^2 \right)
+\nabla \cdot \bm{S}
=\bm{j}\cdot \bm{E}
\end{align}
と表せる。