静力学方程式
Dr. SSS
2020/07/23 - 10:30:08
気候物理
導出
高さ$z$から$z+dz$のところに単位面積を底面積とする円柱を取ると，そこに含まれる大気分子の総質量は，質量密度$\rho$を用いて$\rho dz$と書ける。 高さ$z$において，下からこの円柱にかかる力は圧力$p(z)$に等しいが，この圧力は，$z+dz$で上から円柱にかかる圧力と，円柱に含まれる大気分子の重さを合わせたものを支えないといけない。 すなわち，高さ$z$で大気が力学的にバランスしているためには
\begin{align}
\label {eq:pz}
p(z)=p(z+dz)+\rho gdz
\end{align}
が成り立つ必要がある。 ここで$g$は重力加速度である（トップ画参照）。
(\ref{eq:pz})の右辺1項目を
\begin{align}
p(z+dz)\simeq p(z)+ \frac{dp}{dz}dz
\end{align}
と展開し，並び替えることで
\begin{align}
\frac{dp}{dz}=-\rho g
\end{align}
が得られる。 これを，静力学方程式（hydrostatic equation）という。