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黒体放射とPlanck関数
Dr. SSS
2020/07/24 - 12:08:42
3605
気候物理
はじめに
太陽や地表による放射は，黒体放射によって近似できる。 ここでは，黒体による放射フラックスを表す式を導く。
keywords: 放射, 太陽, 黒体放射, Planck関数
Planck関数
\begin{align}
\label{eq:Plancku}
u(\nu)d\nu
=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{k_BT}-1}d\nu
\end{align}
は，黒体によって等方的に放射される単位体積当たりのエネルギー密度分布を表している。
等方的な放射のうち，微小立体角$d\Omega$内に収まる割合は，立体角の割合$d \Omega/(4\pi)$をかけて
\begin{align}
u_\nu d\nu \frac{d\Omega}{4\pi}
=\frac{2\nu^2}{c^3}\frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{k_BT}-1}d\nu d\Omega
\end{align}
となる。 これに，放射の伝播速度$c$をかけて得られる
\begin{align}
B_\nu(T)
\equiv
\frac{2 \nu^2}{c^2}
\frac{h\nu}{\exp{\left(\frac{h\nu}{k_B T}\right)}-1}
\end{align}
は，$\nu$から$\nu+d\nu$の振動数を持つ放射によって，単位立体角内に漏れ出る単位面積当たりの仕事率，すなわちスペクトル輝度を表すことになる。 これを，Planck関数と呼ぶ。
$\nu=c/\lambda$より
\begin{align}
\left| \frac{d\nu}{d\lambda} \right|
=
\frac{c}{\lambda^2}
\end{align}
であるから，Planck関数を振動数ではなく波長の関数として表すと
\begin{align}
\label {eq:PlanckL}
B_\lambda(T)
=
\left| \frac{d\nu}{d\lambda} \right|B_\nu(T)
=
\frac{2hc^2}{\lambda^5}
\frac{1}{\exp{\left(\frac{hc}{\lambda k_B T}\right)}-1}
\end{align}
となる。
Stefan-Boltzmannの法則
(\ref{eq:PlanckL})を全波長で積分することで，黒体輝度
\begin{align}
\int_0^\infty d\lambda B_\lambda(T)
=
\frac{\sigma}{\pi}T^4
\end{align}
が得られる。 Stefan-Boltzmann定数$\sigma$の定義や積分の方法については『Stefan-Boltzmannの法則』を参照。
これを半球に渡って積分することで，フラックス密度（照度）が
\begin{align}
\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} B(T)
\cos{\theta} \sin{\theta}d\theta
=
2\sigma T^4 \int_0^{\pi/2} \sin{2\theta}d\theta
=
\sigma T^4
\end{align}
と得られる。 黒体の放射フラックスが絶対温度の4乗に比例することを示すこの結果は，Stefan-Boltzmannの法則と呼ばれる。