はじめに
理想化された物体である黒体による熱放射のスペクトルは，温度$T$のみで決まる。そして，この黒体による熱放射のエネルギーは温度の4乗に比例する。この後者の関係を，Stefan-Boltzmannの法則と呼ぶ。この法則は以下のようにして導かれる。
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放射,
Planckの放射式,
熱力学,
統計力学
内容
Planck放射式の積分
黒体の放射スペクトルは，Planckの放射式
\begin{align}
\label {eq:u}
u_\nu(T) d\nu
=
\frac{8\pi \nu^2}{c^3}
\frac{h\nu}{\exp{\left(\frac{h\nu}{k T}\right)}-1}d\nu
\end{align}
によって与えられる。これは，振動数が$\nu$から$\nu+d\nu$の間にある体積当たりのエネルギー密度を表している。よって，これを全振動数領域にわたって積分したもの
\begin{align}
u(T)
=
\int_0^\infty d\nu
\frac{8\pi \nu^2}{c^3}
\frac{h\nu}{\exp{\left(\frac{h\nu}{k T}\right)}-1}
\end{align}
が，全エネルギー密度を与える。
この積分を実行するために，まず$x\equiv h\nu/(kT)$を使って変数変換すると
\begin{align}
u(T)
=
\frac{8\pi}{c^3h^3}k^4 T^4
\int_0^\infty dx
\frac{x^3}{e^x-1}
\end{align}
となる。
右辺の積分は，以下で説明するように，$\pi^4/15$と与えられる。
よって，全エネルギー密度として
\begin{align}
\label {eq:SB_law}
u(T)
=
a T^4
\end{align}
が得られる。
ここで
\begin{align}
a=\frac{8\pi^5 k^4}{15c^3h^3}
=
7.56\times 10^{-16} \ {\rm Jm}^{-3}{\rm K}^{-4}
\end{align}
は放射密度定数（radiation density constant）と呼ばれ，別の有用な定数であるStefan-Boltzmann定数
\begin{align}
\label {eq:sigma}
\sigma
=
\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}
=
5.67\times 10^{-8} \ {\rm Wm}^{-2}{\rm K}^{-4}
\end{align}
と，$a=(4/c)\sigma$の関係にある。
改めて，熱放射のエネルギー（密度）が温度の4乗に比例するこの関係をStefan-Boltzmannの法則という。
放射式の積分と$\zeta$関数
積分
\begin{align}
\label {ex3}
\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}dx
\end{align}
を評価する。
まず(\ref{ex3})を
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{x^3e^{-x}}{1-e^{-x}}dx
\end{align}
と変形する。
被積分関数の分母部分
\begin{align}
\frac{1}{1-e^{-x}}
\end{align}
は，初項$1$，等比$e^{-x}$の無限等比級数の和であるから，積分全体を
\begin{align}
\notag
\int_0^\infty &
x^3e^{-x} \left( 1 + e^{-x} + e^{-2x} + ...\right) dx \\
\notag
&=
\int_0^\infty
x^3e^{-x} \sum_{n=0}^\infty e^{-nx}dx \\
&=
\int_0^\infty
x^3\sum_{n=1}^\infty e^{-nx}dx
\end{align}
と変形できる。
この積分は，部分積分を繰り返すことで
\begin{align}
3! \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}
\end{align}
と計算できる。
この和は
\begin{align}
\zeta(s) \equiv \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}
\end{align}
で定義されるRiemannの$\zeta$関数で$s=4$としたものであり，$\zeta(4)=\pi^4/90$と計算される。
よって最終的に(\ref{ex3})は
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}dx
=
\frac{\pi^4}{15}
\end{align}
と求まる。
