確率密度関数とアンサンブル

確率密度分布

統計力学の主たる目的は，古典的であれ量子的であれ，力学的法則に従う微視的粒子の集合的振る舞いによって，系の熱力学的振る舞いを裏付けることである。 しかし，希薄な気体ですら$10^{20}$を超えるオーダーの数の粒子から構成されるため，このような系の微視的状態を決定することは事実上不可能である。 そこで，統計力学では微視的状態を厳密に決定する代わりに，ある時刻に系が$\Gamma$空間内の特定の領域内に存在する確率を扱う。

1番目の粒子が位置と運動量がそれぞれ$q_1$から$q_1+dq_1$と，$p_1$から$p_1+dp_1$の間にあり2番目の粒子が位置と運動量がそれぞれ$q_2$から$q_2+dq_2$と，$p_2$から$p_2+dp_2$の間にあり...という場合の確率を

で与える。 以下，相空間の体積要素として

という簡略化した表記を用いる。 $\rho$はそれに微小体積を書けることで，特定の状態が実現される確率を与えるものであるから，確率密度関数（probability density function）と呼ばれる。

アンサンブル

改めて，確率密度関数$\rho$は，特定の微視的状態に対応する変数の組$(q_1,p_1,...,q_N,p_N)$を与えて微小体積をかけることで，対応する領域に値を割り当てる関数である。 したがってこれは，相空間内にある連続体の密度を表すものと解釈することもできる（ただし，全領域での積分値は$1$であるように規格化される）。 この連続体を構成するのは，特定の巨視的条件の下で実現可能な系の集まりであり，統計力学ではこれをアンサンブル（ensemble）と呼ぶ。 またそれゆえ$\rho$は，確率分布関数（probability distribution function）とも呼ばれる。