熱容量と比熱
Dr. SSS
2020/07/18 - 13:23:38
熱・統計力学
熱容量の定義
$\Delta Q$の熱を吸収した結果，系の温度が$\Delta T$上昇したとする。 このときの比（微分ではない！）
\begin{align}
C_\text{ave} \equiv \frac{\Delta Q}{\Delta T}
\end{align}
を，系の平均熱容量（average heat capacity）という。
そして，$\Delta T$を無限小とする極限で定義される
\begin{align}
C \equiv \lim_{\Delta T \to 0} \frac{\Delta Q}{\Delta T}
\end{align}
を熱容量（heat capacity）という。 SI単位では，J/K（ジュール/ケルビン）で測られる。
熱容量は示量的な量であるが，これを質量で割った量，すなわち単位質量当たりの熱容量は示強的な量となり，比熱（specific heat）と呼ばれる。
定積熱容量と定圧熱容量
熱力学第一法則
\begin{align}
\delta Q
= dU + pdV
\end{align}
に関係
\begin{align}
dU
=\left( \frac{\pd U}{\pd T}\right)_V dT
+\left( \frac{\pd U}{\pd V}\right)_T dV
\end{align}
を代入すると
\begin{align}
\delta Q
=\left( \frac{\pd U}{\pd T}\right)_V dT
+\left( \frac{\pd U}{\pd V}\right)_T dV
+pdV
\end{align}
となる。 これを$dT$で割ることで
\begin{align}
\label {eq:HC}
\frac{\delta Q}{dT}
=\left( \frac{\pd U}{\pd T}\right)_V
+\left[ \left( \frac{\pd U}{\pd V}\right)_T + p\right]\frac{dV}{dT}
\end{align}
が得られる。
(\ref{eq:HC})は，任意の過程について成り立つ式であるが，体積$V$が一定の場合を考えると，(\ref{eq:HC})の右辺のうち1項目のみが残り
\begin{align}
C_V
\equiv \left(\frac{\delta Q}{d T}\right)_V
=\left( \frac{\pd U}{\pd T}\right)_V
\end{align}
となる。 これを，定積熱容量という。
他方，圧力$p$が一定の場合，(\ref{eq:HC})右辺の2項目からの寄与も加わる。
\begin{align}
\left( \frac{dV}{dT}\right)_{p=\text{一定}}
=\left( \frac{\pd V}{\pd T}\right)_p
\end{align}
に注意すると
\begin{align}
C_p
\equiv
\left( \frac{\pd U}{\pd T}\right)_V
+\left[ \left( \frac{\pd U}{\pd V}\right)_T + p\right]\left( \frac{\pd V}{\pd T}\right)_p
\end{align}
が得られる。 これを，定圧熱容量という。 定積熱容量を用いて表せば
\begin{align}
C_p
= C_V
+\left[ \left( \frac{\pd U}{\pd V}\right)_T + p\right]\left( \frac{\pd V}{\pd T}\right)_p
\end{align}
である。