マスター方程式

Keywords:

Introduction

ここでは，Markov過程の確率分布の時間発展を記述するマスター方程式について説明する。

まず簡単のために，それぞれ $1$ と $2$ とラベルされる二種類の状態しかとらない系を考えよう。この系では，微小な時間 $d t$ 後に系が状態 $1$ を取る確率は時刻 $t$ における確率を用いて

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} P_{1} (t + d t) = & P_{1} (t) \times (状態1にとどまる確率) \\ + & P_{2} (t) \times (状態2から1に移る確率) \end{aligned} \end{matrix}

と表せる。

単位時間あたりに状態1から2に飛び移る遷移確率を $W_{12}$ とし，これが時間に独立であるとすれば，( $1$ )と同じものを

\begin{matrix} (2) & P_{1} (t + d t) = P_{1} (t) (1 - W_{12} d t) + P_{2} (t) W_{21} d t + O (d t^{2}) \end{matrix}

と表すことができる。最後の項は $d t$ の間に1から2に移り，また１に戻る，あるいはそれを複数回繰り返す確率から来るが，並び変えをして $d t \to 0$ の極限を取ることでこれらの寄与は消え，微分方程式

\begin{matrix} (3) & \frac{d P_{1} (t)}{d t} = - W_{12} P_{1} (t) + W_{21} P_{2} (t) \end{matrix}

が得られる。 $P_{2} (t)$ についても同様にして

\begin{matrix} (4) & \frac{d P_{2} (t)}{d t} = - W_{21} P_{2} (t) + W_{12} P_{1} (t) \end{matrix}

が得られる。 ( $3$ )および( $4$ )が，この二状態系のマスター方程式である。この式の意味は，改めて( $1$ )あるいは( $2$ )より明らかだろう。

( $3$ )と( $4$ )を足し合わせると

\begin{matrix} (5) & \frac{d P_{1} (t)}{d t} + \frac{d P_{2} (t)}{d t} = \frac{d}{d t} (P_{1} (t) + P_{2} (t)) = 0 \end{matrix}

となり，確率保存も確認できる。

任意の数の状態を取りうるケースにおいて，二状態のケースの( $2$ )に対応するのは

\begin{matrix} (6) & P_{i} (t + d t) = P_{i} (t) (1 - \sum_{j \neq i} W_{i j} d t) + \sum_{j \neq i} P_{j} (t) W_{j i} d t + O (d t^{2}) \end{matrix}

である。 2状態系の場合と同じようにしてこの式の極限をとることで，一般のマスター方程式

\begin{matrix} (7) & \frac{d P_{i} (t)}{d t} = \sum_{j \neq i} [W_{j i} P_{j} (t) - W_{i j} P_{i} (t)] \end{matrix}

が得られる。

また，状態が連続変数 $x$ で表される場合は，和を積分に置き換え

\begin{matrix} (8) & \frac{\partial P (x, t)}{\partial t} = \int d x^{'} [W (x | x^{'}) P (x^{'}, t) - W (x^{'} | x) P (x, t)] \end{matrix}

となる。