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    マスター方程式

    Dr. SSS 2020/07/09 - 16:47:34 6021 熱・統計力学
    はじめに

    ここでは,Markov過程の確率分布の時間発展を記述するマスター方程式について説明する。


    keywords: 確率過程, 非平衡熱力学, Markov過程, 確率論

    二状態系

    まず簡単のために,それぞれ$1$と$2$とラベルされる二種類の状態しかとらない系を考えよう。 この系では,微小な時間$dt$後に系が状態$1$を取る確率は時刻$t$における確率を用いて

    \begin{equation} \label{eq:prob_dt} \begin{split} P_1\left(t+dt\right) =&P_1(t)\times(\text{状態1にとどまる確率}) \\ % +&P_2(t)\times (\text{状態2から1に移る確率}) \end{split} \end{equation}

    と表せる。

    単位時間あたりに状態1から2に飛び移る遷移確率を$W_{12}$とし,これが時間に独立であるとすれば,(\ref{eq:prob_dt})と同じものを

    \begin{equation} \label{eq:PW} P_1(t+dt) =P_1(t)(1-W_{12}dt)+P_2(t)W_{21}dt+O(dt^2) \end{equation}

    と表すことができる。 最後の項は$dt$の間に1から2に移り,また1に戻る,あるいはそれを複数回繰り返す確率から来るが,並び変えをして$dt\to 0$の極限を取ることでこれらの寄与は消え,微分方程式

    \begin{equation} \label{eq:master_eq_P1} \frac{dP_1(t)}{dt}=-W_{12}P_1(t)+W_{21}P_2(t) \end{equation}

    が得られる。 $P_2(t)$についても同様にして

    \begin{equation} \label{eq:master_eq_P2} \frac{dP_2(t)}{dt}=-W_{21}P_2(t)+W_{12}P_1(t) \end{equation}

    が得られる。 (\ref{eq:master_eq_P1})および(\ref{eq:master_eq_P2})が,この二状態系のマスター方程式である。 この式の意味は,改めて(\ref{eq:prob_dt})あるいは(\ref{eq:PW})より明らかだろう。

    (\ref{eq:master_eq_P1})と(\ref{eq:master_eq_P2})を足し合わせると

    \begin{equation} \frac{dP_1(t)}{dt}+\frac{dP_2(t)}{dt} =\frac{d}{dt}\left(P_1(t)+P_2(t)\right)=0 \end{equation}

    となり,確率保存も確認できる。



    一般化

    任意の数の状態を取りうるケースにおいて,二状態のケースの(\ref{eq:PW})に対応するのは

    \begin{equation} P_i(t+dt) =P_i(t)\left(1-\sum_{j\neq i}W_{ij}dt\ \right) +\sum_{j\neq i}{P_j(t)W_{ji}dt}+O(dt^2) \end{equation}

    である。 2状態系の場合と同じようにしてこの式の極限をとることで,一般のマスター方程式

    \begin{equation} \label{eq:master_eq_disc} \frac{dP_i(t)}{dt}=\sum_{j\neq i}\left[W_{ji}P_j(t) -W_{ij}P_i(t)\right] \end{equation}

    が得られる。

    また,状態が連続変数$x$で表される場合は,和を積分に置き換え

    \begin{equation} \label{eq:master_eq_cont} \frac{\pd P(x,t)}{\pd t} =\int dx' \left[W(x|x') P(x',t)-W(x'|x)P(x,t)\right] \end{equation}

    となる。


    参考文献