放射伝達方程式
Dr. SSS
2020/07/28 - 11:31:51
2010
気候物理
Lambert-Bouguer-Beer法則
放射強度（輝度）$L_\nu$は，大気中を伝達する過程で，大気分子による吸収や散乱によって変化する。 この過程の詳細は複雑なのだが，輝度の変化の様子はLambert-Bouguer-Beer法則にまとめあげることができる。 この法則は，吸収及び散乱による輝度の減衰は，$L_\nu$と，吸収あるいは散乱を起こす気体の密度$\rho_a$に比例することを述べる。
つまり，微小立体角$d\Omega$で，単位断面積を持つ気柱を進む放射を考えたとき，気柱の中を$ds$の長さ進む間に，吸収や散乱によって起こる輝度$L_\nu$の減衰は
\begin{align}
\label {eq:dLnu}
dL_\nu
=
-k_\nu(s)\rho_a(s)L_\nu(s)ds
\end{align}
と書ける。 ここで，$k_\nu$は消散係数（extinction coefficient）と呼ばれ，吸収係数$a_\nu$と，散乱係数$s_\nu$の和
\begin{align}
k_\nu=a_\nu+s_\nu
\end{align}
で与えられる。
(\ref{eq:dLnu})より得られる微分方程式
\begin{align}
\label{eq:dLds}
\frac{dL_\nu}{ds}
=
-k_\nu(s)\rho_a(s)L_\nu(s)
\end{align}
の解は容易に得られ
\begin{align}
L_\nu(s)
=
L_\nu(0) \exp{\left[-\int_0^s ds' k_\nu(s')\rho_a(s')\right]}
\end{align}
となる。
放射伝達方程式
気体が，吸収や散乱だけでなく，光子の放出により放射を増強する場合，(\ref{eq:dLds})には対応するソース項が加わる。 ソース項を，放射源関数（source function）$J_\nu$を用いて$k_\nu(s)\rho_a(s)J_\nu(s)ds$と置けば
\begin{align}
\frac{dL_\nu}{ds}
=
-(L_\nu-J_\nu) k_\nu\rho_a
\end{align}
が得られる。 これを放射伝達方程式（radiative transfer equation）という。