Budyko–Sellersモデルとアイス・アルベド・フィードバックI

アイス・アルベド・フィードバックとは

アイス・アルベド・フィードバックとは，氷や雪の面積が増えたり減ったりすること伴って，アルベド（太陽からの入射光エネルギーを反射する割合）が変化することによって生じる正のフィードバックプロセスである。フィードバックプロセスとは，系（この場合は惑星の気候）の状態を決めるあるパラメータに変化が生じたとき，その変化が変化を起こしたパラメータ自身に影響を与えるプロセスのことを言う。そして，ここでいう正のフィードバックとは，その影響がさらにパラメータの変化を促進する方向に働くものを指している。

アイス・アルベド・フィードバックの場合には，考慮の対象となるパラメータは気温である。気温が上昇し，太陽からの入射エネルギーを効果的に反射してくれる氷の融解が進むと，海や地表がむき出しになり，入射エネルギーの吸収効率が上昇する。その結果，ますます気温が上昇して氷の融解を促し，さらに気温が上昇し…というループにはまり込んでしまう（図1）。

図1：フィードバックループのイメージ

これが温暖化を加速させる方向へのアイス・アルベド・フィードバックの働きである。 現在，人間の身勝手な生き方の影響によって温暖化が進行しており，トップに載せたアニメーションの通り，北極の氷も年々減少している。南極やグリーンランドなどの氷床が溶けることによる影響として，海面上昇や病原菌の解放などが危惧されているが，氷の減少は，こうしたフィードバックループにより，それ自体が温暖化をますます加速させることにもつながるため，非常に深刻な問題なのである。以下では，初めに述べたような1次元の簡易モデルによるこのプロセスの扱いについて解説する（数式の無い解説はパートIIの最後に続く）。

Budyko–Sellersモデル

系に緯度$\theta$への依存性を持たせ，南北方向への輸送項$\Delta F$を加えた

は，Budyko-Sellersモデルと呼ばれる。 ここで，$x=\sin\theta$である。 以下，時間依存性は落とし，平衡状態について考察する。

入射フラックスも緯度依存性を持ち，$F_0$を太陽定数として

で与えられる。 $s(x)$は日射分布の年平均で

が十分よい近似となる（図2）。 ここで

は，2次のLegendre多項式である。 上向きフラックスは，0次元モデルでも用いられるのと同様に，温度への線形な依存性を仮定した

の形で与えられる。 係数$A$および$B$は観測値に基づいて決定される。

図2：(\ref{eq:sx})で与えられる日射分布の年平均

輸送項の形

Budykoモデルでは，輸送項は，全球平均温度$\overline{T}$への緩和を表す

の形が仮定される。 ここで，全球平均は

で与えられる。 他方，Sellersのモデルでは拡散項

が用いられる。

Sellersモデルの輸送項(\ref{eq:DF_Sellers})とBudykoモデルの輸送項(\ref{eq:DF_Budyko})は，以下のような関係にある。 Sellersモデルの拡散項は，拡散係数$D$を定数とすれば，Legendreの微分方程式

の左辺と同一の形になる。 よって，温度をLegendre多項式を使って

と展開する。 このとき，赤道をまたいで南北に対称となる解を得るために，$n=$偶数次の係数$T_n$のみがゼロでないとする。 エネルギーバランスの式

に$P_m(x)$をかけ，Legendre多項式の直交条件

を利用して積分すると

を得る。 ここで

とした。 $n=0$では

となり，$T_0$は全球平均温度$\overline{T}$に対応する。

温度の展開(\ref{eq:TPn})を$n=2$までで止めると

であるから

と並び替え，(\ref{eq:Leg})を使うと

となることがわかる。 すなわち，温度のLegendre多項式を用いた展開を2次で止め，$D=6\gamma$とすれば，Sellersモデルの輸送項は，Budykoモデルの輸送項と一致する。

続いて『Budyko–Sellersモデルとアイス・アルベド・フィードバックII』において，ここで紹介した1次元のEBMを用いた数値計算の結果を紹介する。