Ehrenfestの定理
Dr. SSS
2018/11/05 - 13:04:34
量子力学
はじめに
keywords: 量子力学, 運動方程式
内容
ここでは，古典力学と量子力学の橋渡しをするEhrenfestの定理と呼ばれる関係
\begin{align}
\notag
\frac{d}{dt}\left\langle x\right\rangle &=\frac{\left\langle p\right\rangle}{m} \\
\notag
\frac{d}{dt}\left\langle p\right\rangle &=\left\langle-\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle
\end{align}
を導く。
keywords: 量子力学, 運動方程式
内容
導出
位置の期待値の時間微分は，定義の通り
\begin{align} \notag
\frac{d}{dt}\left\langle x\right\rangle&=\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^\ast\hat{x}\psi dx} \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{{\partial\psi}^\ast}{\partial t}\hat{x}\psi dx+}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^\ast\hat{x}\frac{\partial\psi}{\partial t}dx}
\end{align}
となる。これをSchrödinger方程式およびその複素共役
\begin{align}
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat{H}\psi\ ,\ \ -i\hbar\frac{\partial\psi^\ast}{\partial t}=\hat{H}\psi^\ast
\end{align}
を用いて
\begin{align} \notag
\frac{d}{dt}\left\langle x\right\rangle
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\left(-\frac{1}{i\hbar}\hat{H}^* \psi^* \right)\hat{x}\psi
+\psi^\ast\hat{x}\left(\frac{1}{i\hbar}\hat{H}\psi\right)\right]dx \\
&=\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\psi^\ast\hat{H}\hat{x}\psi-\psi^\ast\hat{x}\hat{H}\psi\right)dx \\ \notag
&=\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^\ast\left[\hat{H},\hat{x}\right]\psi dx}
\end{align}
と変形する。ここで，Hamiltonianと位置演算子の交換関係は
\begin{align}
\notag
\left[\hat{H},\hat{x}\right]
&=\left[\frac{ \hat{p}^2}{2m}+V,\hat{x}\right]
=\frac{1}{2m}\left[{\hat{p}}^2,\hat{x}\right]
=\frac{1}{2m} \left( \hat{p} \left[ \hat{p},\hat{x} \right] + \left[ \hat{p},\hat{x} \right] \hat{p} \right) \\
&=-\frac{i\hbar}{m} \hat{p}
\end{align}
となるため位置の期待値の時間微分は
\begin{align}
\frac{d}{dt}\left\langle x\right\rangle=\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^\ast\left[\hat{H},\hat{x}\right]\psi dx}=\frac{\left\langle p\right\rangle}{m}
\end{align}
となることがわかる。
次に，運動量$p$の期待値の時間微分を考える。この場合も位置の期待値の場合と同様
\begin{align} \notag
\frac{d}{dt}\left\langle p\right\rangle
&=\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^\ast\hat{p}\psi dx} \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{{\partial\psi}^\ast}{\partial t}\hat{p}\psi dx+}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^\ast\hat{p}\frac{\partial\psi}{\partial t}dx} \\ \notag
&=\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^\ast\left[\hat{H},\hat{p}\right]\psi dx}
\end{align}
となる。Hamiltonianと運動量の交換関係は
\begin{align} \notag
\left[\hat{H},\hat{p}\right]
&=\left[\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V,\hat{p}\right] \\ \notag
&=V\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)-\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}V\right) \\
&=i\hbar\frac{\partial}{\partial x}V
\end{align}
と計算されるため，運動量の期待値の時間微分は
\begin{align}
\frac{d}{dt}\left\langle p\right\rangle=\left\langle-\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle
\end{align}
となる。これらの結果はそれぞれ古典力学の
\begin{align}
\frac{dx}{dt}&=\frac{p}{m} \\
\frac{dp}{dt}&=-\frac{\partial V}{\partial x}
\end{align}
に対応している。3次元の場合は
\begin{align}
\frac{d\bm{r}}{dt}&=\frac{\bm{p}}{m} \\
\frac{d\bm{p}}{dt}&=-\nabla V
\end{align}
である。