Ehrenfestの定理

Dr. SSS 2018/11/05 - 13:04:34 量子力学
はじめに

ここでは,古典力学と量子力学の橋渡しをするEhrenfestの定理と呼ばれる関係

\begin{align} \notag \frac{d}{dt}\left\langle x\right\rangle &=\frac{\left\langle p\right\rangle}{m} \\ \notag \frac{d}{dt}\left\langle p\right\rangle &=\left\langle-\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle \end{align}

を導く。


keywords: 量子力学, 運動方程式

内容

導出

位置の期待値の時間微分は,定義の通り

\begin{align} \notag \frac{d}{dt}\left\langle x\right\rangle&=\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^\ast\hat{x}\psi dx} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{{\partial\psi}^\ast}{\partial t}\hat{x}\psi dx+}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^\ast\hat{x}\frac{\partial\psi}{\partial t}dx} \end{align}

となる。これをSchrödinger方程式およびその複素共役

\begin{align} i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat{H}\psi\ ,\ \ -i\hbar\frac{\partial\psi^\ast}{\partial t}=\hat{H}\psi^\ast \end{align}

を用いて

\begin{align} \notag \frac{d}{dt}\left\langle x\right\rangle &=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\left(-\frac{1}{i\hbar}\hat{H}^* \psi^* \right)\hat{x}\psi +\psi^\ast\hat{x}\left(\frac{1}{i\hbar}\hat{H}\psi\right)\right]dx \\ &=\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\psi^\ast\hat{H}\hat{x}\psi-\psi^\ast\hat{x}\hat{H}\psi\right)dx \\ \notag &=\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^\ast\left[\hat{H},\hat{x}\right]\psi dx} \end{align}

と変形する。ここで,Hamiltonianと位置演算子の交換関係

\begin{align} \notag \left[\hat{H},\hat{x}\right] &=\left[\frac{ \hat{p}^2}{2m}+V,\hat{x}\right] =\frac{1}{2m}\left[{\hat{p}}^2,\hat{x}\right] =\frac{1}{2m} \left( \hat{p} \left[ \hat{p},\hat{x} \right] + \left[ \hat{p},\hat{x} \right] \hat{p} \right) \\ &=-\frac{i\hbar}{m} \hat{p} \end{align}

となるため位置の期待値の時間微分は

\begin{align} \frac{d}{dt}\left\langle x\right\rangle=\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^\ast\left[\hat{H},\hat{x}\right]\psi dx}=\frac{\left\langle p\right\rangle}{m} \end{align}

となることがわかる。

次に,運動量$p$の期待値の時間微分を考える。この場合も位置の期待値の場合と同様

\begin{align} \notag \frac{d}{dt}\left\langle p\right\rangle &=\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^\ast\hat{p}\psi dx} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{{\partial\psi}^\ast}{\partial t}\hat{p}\psi dx+}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^\ast\hat{p}\frac{\partial\psi}{\partial t}dx} \\ \notag &=\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}{\psi^\ast\left[\hat{H},\hat{p}\right]\psi dx} \end{align}

となる。Hamiltonianと運動量の交換関係は

\begin{align} \notag \left[\hat{H},\hat{p}\right] &=\left[\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V,\hat{p}\right] \\ \notag &=V\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)-\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}V\right) \\ &=i\hbar\frac{\partial}{\partial x}V \end{align}

と計算されるため,運動量の期待値の時間微分は

\begin{align} \frac{d}{dt}\left\langle p\right\rangle=\left\langle-\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle \end{align}

となる。これらの結果はそれぞれ古典力学の

\begin{align} \frac{dx}{dt}&=\frac{p}{m} \\ \frac{dp}{dt}&=-\frac{\partial V}{\partial x} \end{align}

に対応している。3次元の場合は

\begin{align} \frac{d\bm{r}}{dt}&=\frac{\bm{p}}{m} \\ \frac{d\bm{p}}{dt}&=-\nabla V \end{align}

である。


参考文献


自然科学に関する質問やノート作りは『AfterSchool』で。