Schrödinger方程式の単純な導出

Dr. SSS 2018/11/05 - 22:19:29 量子力学
はじめに

Einsteinの光量子仮説により,波であると考えられてきた光が,粒子としての性質も併せ持つことが明らかにされた。 それを受けてde Broglieは,電子などの粒子として考えられてきたものが,波としての性質を併せ持つこともありうるのではないか,と考えた。そしてこの仮説が正しいことは後に実験的に確かめられた

このような波はde Brogilie波と呼ばれ,de Broglieの関係と呼ばれる以下のような関係式を満たす。

\begin{align} \label{de bro} \nu=\frac{E}{h}\ \ ,\ \lambda=\frac{h}{p} \end{align}

ここで$\nu$は振動数,$\lambda$は波長で,$E$と$p$はそれぞれエネルギーと運動量。$h$はPlanck定数である。 ここでは,de Broglie波が従う運動方程式に対応する,Schrödinger方程式の導出を行う。


keywords: 量子力学, Schrödinger方程式

内容

1次元のケース

de Broglieの関係

\begin{align} \nu=\frac{E}{h}\ \ ,\ \lambda=\frac{h}{p} \end{align}

を満たすde Broglie波のみたすべき方程式を考える。 ここに$\nu$は振動数,$\lambda$は波長で,$E$と$p$はそれぞれエネルギーと運動量。$h$はPlanck定数である。

de Broglie波の物理的意味は不明であるがなんらかの波動量として記述できると考えられる。 これを波動関数と呼び,$\psi$で表そう。 波動関数の物理的解釈などは別項で解説する。まず簡単のため1次元の場合を考える。一般に波を表す式は

\begin{align} \psi(x,t)=e^{i\left(kx-\omega t\right)} \end{align}

と表せる。 ここで$k$は波数,$\omega$は角振動数であるが,これらはそれぞれ波長と振動数との間に

\begin{align} k &=\frac{2\pi}{\lambda} \\ \omega&=\frac{2\pi}{T}=2\pi\nu \end{align}

の関係があるため,de Broglieの関係からエネルギーと運動量を用いて位相を

\begin{align} \psi(x,t)=e^{\frac{i}{\hbar}\left(px-Et\right)} \end{align}

と書き換え,粒子的な概念を取り入れられる。 ここで$\hbar=h/2\pi$を定義した。 これを$t$と$x$で微分し,係数を処理するとそれぞれ

\begin{align} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi &=E\psi \\ -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\psi &=p\psi \end{align}

はそれぞれ,エネルギー演算子と運動量演算子と呼ばれ,作用する対象を限定せず一般化される。

また,質量mの自由粒子の古典的なHamiltonianは

\begin{align} H=\frac{p^2}{2m} \end{align}

であるから,Hamiltonian演算子として

\begin{align} \hat{H}=\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)^2=-\frac{\hbar^2}{2m}\ \frac{\partial^2}{\partial x^2} \end{align}

を定義すれば

\begin{align} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=\hat{H}\psi \end{align}

が成り立つ。 これが(1次元自由粒子の)時間に依存するSchrödinger方程式である。




3次元のケース

これを3次元に拡張するのは容易である。 運動量はベクトル$\bm{p}$で与えられるため運動量演算子が

\begin{align} \hat{H} =-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\ \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \end{align}

となる。 また粒子がポテンシャル$V(\bm{x},t)$の中にある場合にはポテンシャル項が付け加わり

\begin{align} \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V(\bm{x},t) \end{align}

と与えられる。 したがって,3次元での一般のSchrödinger方程式として

\begin{align} i\hbar\frac{\pd}{\pd t}\psi(\bm{x},t) =\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +V(\bm{x},t)\right]\psi(\bm{x},t) \end{align}

が得られる。


定常なケース

またポテンシャルが時間に依存しない場合は,エネルギー$E$は定数となり,波動関数は

\begin{align} \psi(\bm{x},t)=\phi(\bm{x})e^{-iEt/\hbar} \end{align}

の形における。 このときSchrödinger方程式は次式に帰着する:

\begin{align} \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V(\bm{x})\right]\phi(\bm{x}) =E\phi(\bm{x}) \end{align}

これを時間に依存しないSchrödinger方程式と呼ぶ。


参考文献


自然科学に関する質問やノート作りは『AfterSchool』で。