Liouvilleの定理

Jacobianの性質

定理を示すために，Jacobianの性質についておさらいしておこう。 改めて，Jacobian$|\pd(x_1,...,x_n)/\pd(u_1,...,u_n)|$は，行列要素を$A_{ij}=\pd x_i/\pd u_j$とする行列の行列式である。 そして，これと$B_{jk}=\pd u_j/\pd \xi_k$を要素とする行列の積は

となる。 よって，行列$A,B$の積の行列式$|AB|$は，行列$A,B$それぞれの行列式の積$|A||B|$に等しいという性質から

が成り立つ。 すなわち，Jacobian同士の積を取るときは，Jacobianを分数のように扱える。

また，上の意味でのJacobianの分子と分母に共通の量がある場合，その量は定数のように扱われ，式が簡略化される。 簡単のために2変数$(x,y)$から$(u,v)$への変換で考えると

となり，確かに共通の量，ここでは$y$，が定数となることがわかる。

Liouvilleの定理

$(Q_1,...,Q_n,P_1,...,P_n)$から$(q_1,...,q_n,p_1,...,p_n)$への変換におけるJacobianは

である。 ここで，上で述べた分数的な性質を用いて$|\pd(q_1,...,q_nP_1,...,P_n)|$を差し込み

とすると，分子分母の共通因子が定数扱いになることから

と簡略化される。 ここで，分子は$\pd Q_i/\pd q_j$を，分母は$\pd p_i/\pd P_j$を$ij$要素とする行列の行列式になっている。

ここで，$F(q,P)$型の母関数を用いた正準変換の性質

を思いだすと，分子，分母の行列要素はそれぞれ

および

となる。 すなわちJacobianの分子分母は，互いに行と列を入れ替えた（転置な）関係にある行列の行列式である。 そして転置しても行列式の値は変わらないから，Jacobianは恒等的に1になる。 こうして定理が確かめれた。

相空間内の運動とLiouvilleの定理

正準変換のところで議論したように，相空間内の運動も正準変換とみなすことができる。 相空間の各点は，それぞれ異なる系の力学的状態に対応し，運動方程式に従って相空間内を移動する。 よって，ある時刻における相空間内のある領域$d\Gamma$を取り，その変化を追跡することは，初期条件がわずかに異なる系の運動を追跡することに対応する。 $d\Gamma$は時間とともに相空間内で形を変えていくが，Liouvilleの定理によれば，体積$d\Gamma$は不変に保たれる。 この性質は，統計力学において重要な役割を果たす。