仕事とエネルギー

Keywords:

Introduction

ここでは，仕事とエネルギーという物理における2つの基本概念について解説する。

力 $F$ の下，点 $A$ から $B$ に移動したとき，経路に沿って定義される積分

\begin{matrix} (1) & W_{A B} = \int_{A}^{B} F \cdot d x \end{matrix}

を力 $F$ がした仕事（work）という。この定義からわかるように，変位 $d x$ に直交する力は仕事をしない。

( $1$ )の値は一般に経路に依存する（『線積分』を参照）。しかし，力が，あるスカラー関数 $ϕ$ を用いて

\begin{matrix} (2) & F = - \nabla ϕ = - (\frac{\partial ϕ}{\partial x_{1}} e_{1} + \frac{\partial ϕ}{\partial x_{2}} e_{2} + \frac{\partial ϕ}{\partial x_{3}} e_{3}) \end{matrix}

の形にかけるとき，仕事は

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} W_{A B} = & - \int_{A}^{B} \nabla ϕ \cdot d x \\ = & - \int_{A}^{B} (\frac{\partial ϕ}{\partial x_{1}} d x_{1} + \frac{\partial ϕ}{\partial x_{2}} d x_{2} + \frac{\partial ϕ}{\partial x_{3}} d x_{3}) \\ = & - \int_{A}^{B} d ϕ \\ = & ϕ (A) - ϕ (B) \end{aligned} \end{matrix}

となり，始点と終点の値のみで決まる。このように，仕事が経路に依存せず，始点と終点における値の差のみで決まるとき， $F$ は保存力（conservative force）と呼ばれ，対応するスカラー関数 $ϕ$ をポテンシャルエネルギー（potential energy）という。

力が保存力の場合，運動方程式は

\begin{array}{r} (4) & m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \nabla ϕ \end{array}

と書ける。

右辺を運動の軌道に沿って積分したものは，ポテンシャルエネルギーの差になるのであった。一方，左辺も同様に積分した結果は

\begin{aligned} \int_{A}^{B} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \cdot d x = & \int_{A}^{B} m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \cdot \frac{d x}{d t} d t \\ = & \frac{m}{2} \int_{A}^{B} \frac{d}{d t} (\frac{d x}{d t} \cdot \frac{d x}{d t}) d t \\ (5) & = & \frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{1}{2} m v_{A}^{2} \end{aligned}

となる。ここに現れる

\begin{array}{r} (6) & \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{m}{2} {| \frac{d x}{d t} |}^{2} \end{array}

を運動エネルギー（kinetic energy）という。

( $4$ )の左辺と右辺を積分した結果は，それぞれ( $5$ )と( $???$ )であるから

\begin{array}{r} (7) & \frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{1}{2} m v_{A}^{2} = ϕ (A) - ϕ (B) \end{array}

が成り立つ。これを並び替えると

\begin{array}{r} (8) & \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + ϕ (B) = \frac{1}{2} m v_{A}^{2} + ϕ (A) \end{array}

が得られる。これは，運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和である全エネルギー

\begin{array}{r} (9) & E \equiv \frac{1}{2} m v^{2} + ϕ \end{array}

が軌道上の2点間で不変であることを示している。 2点間の選択は任意であるため，任意の時刻で

\begin{array}{r} (10) & \frac{d}{d t} E = \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m v^{2} + ϕ) = 0 \end{array}

が成り立つ。このように，力が保存的であるとき，質点の全エネルギーが一定であることをエネルギー保存則（law of the conservation of energy）という。

( $10$ )を

\begin{array}{r} (11) & \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m v^{2}) = - \frac{d}{d t} ϕ \end{array}

と書き直すと，他方の形態のエネルギーの増加（減少）分が，もう一方の形態のエネルギーの減少（増加）分となることがわかりやすくなる。

保存力の典型的な例の1つが，それぞれ位置 $x_{1}$ ， $x_{2}$ にある2つの質点間に働く万有引力

\begin{array}{r} (12) & F = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{3}} r \end{array}

である。ここで， $m_{1}$ ， $m_{2}$ はそれぞれの質量で， $G$ は万有引力定数， $r = x_{1} - x_{2}$ および $r = | r |$ である。

\begin{array}{r} (13) & \frac{r}{r^{3}} = - \nabla \frac{1}{r} \end{array}

であるから，万有引力に対して，ポテンシャル

\begin{array}{r} (14) & ϕ = - G \frac{m_{1} m_{2}}{r} \end{array}

が定義できる。

これに対し，典型的な非保存力の一つは摩擦力だ。比例定数を $γ$ とすると，摩擦力は一般に速度に比例する形

\begin{array}{r} (15) & F = - γ v \end{array}

における。よってこの力がする仕事は

\begin{array}{r} (16) & \int F \cdot d x = \int F \cdot v d t = - γ \int v^{2} d t \end{array}

となる。これを，( $4$ )の左辺を積分した結果（運動エネルギー）と結び，時間で微分すると

\begin{array}{r} (17) & \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m v^{2}) = - γ v^{2} \end{array}

となり，この場合質点の運動エネルギーの変化分は，ポテンシャルエネルギーに形態を変えるのではなく，摩擦によって散逸していくことが示される。

保存力のなす仕事が始点と終点の差のみで決まるということは，保存力の場合

\begin{array}{r} (18) & \oint_{C} F \cdot d x = 0 \end{array}

が成り立つということである。これにStokesの定理を適用すると

\begin{array}{r} (19) & \int_{S} (\nabla \times F) \cdot d S = 0 \end{array}

となる。ここで， $S$ は曲線 $C$ が囲む面積で， $d S$ は向きを含めたその面積要素である。 $C$ の選択は任意であるため，この場合

\begin{array}{r} (20) & \nabla \times F = 0 \end{array}

が成り立つことがわかる。つまり，回転がゼロの力は保存力であり，その逆も成り立つ。保存力の回転がゼロであることは，任意のスカラー関数 $ϕ$ について成り立つベクトル公式

\begin{array}{r} (21) & \nabla \times \nabla ϕ = 0 \end{array}

からも確かめられる。