非慣性系の運動と慣性力

Keywords:

慣性力

『Galileiの相対性原理』では，慣性系同士の変換を考えた。今度は，ある慣性系での座標$\bm{x}$と別の基準系での座標$\bm{x}'$の間の変換を

\begin{equation} \bm{x}(t) = \bm{x}'(t) +\tilde{\bm{x}}(t) \end{equation}

と置き，より一般的な変換を考える。ここで$\tilde{\bm{x}}$は慣性系から見た新たな基準系の原点を表す位置ベクトルである。 $\tilde{\bm{x}}(t)=\bm{V}t$としたのがGalilei変換である。これを二回時間で微分することで

\begin{equation} m\frac{d^2\bm{x}}{dt^2} = m\frac{d^2\bm{x}'}{dt^2} + m\frac{d^2\tilde{\bm{x}}}{dt^2} =\bm{F} \end{equation}

となる。ここで$\bm{F}$は慣性系である元の基準系から見た力である。よって，これを並び替えることで，新たな基準系での運動方程式が

\begin{equation} m\frac{d^2\bm{x}'}{dt^2} = \bm{F}+\bm{F}^I \end{equation}

と得られる。ここで

\begin{equation} \bm{F}^I = - m\frac{d^2\tilde{\bm{x}}}{dt^2} \end{equation}

は，新たな基準系が慣性系に対して一定でない速度で動いている場合，つまり非慣性系の場合に寄与が現れる項であり，慣性力（inertial force）と呼ばれる。改めてこれは，基底ベクトルが一定の場合の例であることに注意。より一般の場合は次の項で説明する。

座標軸に変化がない非慣性系の簡単な例は，一定の加速度で動く基準系である。この場合，座標軸は元の基準系と一致させたまま，$\tilde{\bm{x}}=\bm{a}t^2/2+\bm{V}t$と置け，慣性力は

\begin{equation} \bm{F}^I = - m\bm{a} \end{equation}

となる。乗り物に乗っていて，加速が起こるときに，その加速とは逆方向に感じる力がこれである。

地表付近で自由落下する物体と一緒に運動する基準系では，慣性力$m\bm{g}$が働き，重力を打ち消す。よって，外力$\bm{F}$を加えた場合のその基準系の一般的な運動方程式は

\begin{equation} m\frac{d^2\bm{x}'}{dt} = -m\bm{g}+m\bm{g}+\bm{F} =\bm{F} \end{equation}

となり，慣性系と同じになる。このように，局所的に重力が消去される基準系を，局所慣性系（local inertial frame）と呼ぶ。

戸田盛和. (1982). 物理入門コース1 力学. 岩波書店.

米谷民明. (1993). 力学. 培風館.