空間並進対称性
まず，$N$個の粒子からなる系を対象とし，系全体をある方向に一斉にずらす変換を考える。
Cartesian座標系$\bm{x}=(x_1,x_2,x_3)$で考え，変化させる方向の単位ベクトルを$\bm{e}$とすれば，この変換は
\begin{equation}
\bm{x}_a \to \bm{x}_a+ \epsilon\bm{e}
\end{equation}
と表せる。
ここで$a$は粒子を表すラベルで，$\epsilon$は無限小のパラメータを表している。
無限小でない変換については，この変換を積み重ねることを考えればいい。
このときLagrangianの変化は
\begin{equation}
\delta L
=\sum_a \frac{\partial L}{\partial \bm{x}_a}\cdot \delta \bm{x}_a
=\sum_a \frac{\partial L}{\partial \bm{x}_a}\cdot \epsilon \bm{e}
\end{equation}
となる。
この変換は，単なる$\bm{e}$に沿った方向微分であって関数形を変える変分ではないため，$\delta \dot{\bm{x}}_a=0$であることに注意しよう。
Lagrangianが空間並進の下で不変であるためには，任意の$\bm{e}$についてこの量が0である必要がある。
Euler-Lagrange方程式を使って書き換えれば
\begin{equation}
\sum_a \frac{\partial L}{\partial \bm{x}_a} \cdot \bm{e}
=\frac{d}{dt}
\sum_a \frac{\partial L}{\partial\dot{\bm{x}}_a} \cdot \bm{e}=0
\end{equation}
である。
すなわち，並進対称性を持つ系では，全運動量$\bm{p}=\sum_a \partial L/\partial \dot{\bm{x}}_a$の時間微分はゼロとなる：
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\bm{p}
=\frac{d}{dt}\sum_a \frac{\partial L}{\partial \dot{\bm{x}}_a}
=0
\end{equation}
言い換えると，$\bm{p}$は積分すると
\begin{equation}
p_\alpha =\text{定数}
\quad
(\alpha=1,2,3)
\end{equation}
となるため，運動量の各成分は保存量となる。
このように，積分した結果定数となる，すなわち運動に沿って不変である量を，運動の第一積分（first integral）という。
回転対称性
続いて，同様の系を空間的に回転させる変換を考える。
微小角$\delta \varphi$だけ回転させたときの座標変化は
\begin{equation}
\bm{x} \to \bm{x}+\delta\bm{\varphi}\times\bm{x}
\end{equation}
と表せる。
ここでベクトル$\delta \bm{\varphi}$は，回転軸に並行で大きさ$\delta \varphi$を持つベクトルとして定義されている（図1）。
この場合のLagrangianの変化は
\begin{equation}
\delta L
= \sum_a \left(
\frac{\partial L}{\partial \bm{x}_a}\cdot (\delta\bm{\varphi}\times\bm{x}_a)
+ \frac{\partial L}{\partial \dot{\bm{x}}_a}\cdot (\delta\bm{\varphi}\times\dot{\bm{x}}_a) \right)
\end{equation}
である。
ここで
\begin{equation}
\dot{\bm{p}}_a
= \frac{\partial L}{\partial \bm{x}_a},
\quad
\bm{p}_a
=\frac{\partial L}{\partial \dot{\bm{x}}_a}
\end{equation}
を用いると
\begin{equation}
\begin{split}
\delta L
=&
\sum_a \dot{\bm{p}}_a \cdot (\delta\bm{\varphi}\times\bm{x}_a)
+\bm{p}_a \cdot (\delta\bm{\varphi}\times\dot{\bm{x}}_a) \\
=& \delta\bm{\varphi}\cdot\sum_a (\bm{x}_a\times \dot{\bm{p}}_a)
+ \delta\bm{\varphi}\cdot (\dot{\bm{x}}_a \times\bm{p}_a) \\
=& \delta\bm{\varphi}\cdot \frac{d}{dt} \sum_a (\bm{x}_a\times\bm{p}_a)
\end{split}
\end{equation}
となるため，回転で不変な系では，角運動量$\bm{L}=\sum_a \bm{x}_a\times\bm{p}_a$が保存する。
時間並進対称性
今度は時間並進を考える。
時間並進
\begin{equation}
t\to t+ \delta t
\end{equation}
に伴うLagrangianの変化は
\begin{equation}
\delta L
=\delta t
\left( \frac{\partial L}{\partial q^i} \dot{q}^i
+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i } \ddot{q}^i \right)
\end{equation}
である（$i=1,2,3,...,3N$）。
$\delta t$は単に時間の微小変化であるため，両辺を$\delta t$で割れば
\begin{equation}
\frac{dL}{dt}
=
\left( \frac{\partial L}{\partial q^i} \dot{q}^i
+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i } \ddot{q}^i \right)
\end{equation}
となる。
つまり，初めから$dL/dt$をチェーンルールを使って計算したのと同じことだ。
ここでまたEuler-Lagrange方程式を使って変形すれば
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{dL}{dt}
=&
\left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i }\dot{q}^i
+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i } \ddot{q}^i \right) \\
=&
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i } \dot{q}^i \right)
\end{split}
\end{equation}
となる。
両辺をまとめると
\begin{equation}
\frac{d}{dt}
\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i } \dot{q}^i-L \right)
=0
\end{equation}
となり，このときは，エネルギー
\begin{equation}
E \equiv
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i } \dot{q}^i
-L
\end{equation}
が保存量となることがわかる。
Noetherの定理
空間並進，空間回転，時間並進という上述の例では，ある対称性が存在すると，それに対応する保存量が存在した。
このことを一般化したのがNoetherの定理である。
複数の変換をまとめて考えれば，一般の無限小変換は
\begin{equation}
\label{eq:delq_gen}
q^i
\to
q^i+\sum_{\mu=1}^k
\epsilon^\mu f_\mu^i (q,\dot{q})
\end{equation}
と表せる。
ここで$1$から$k$まで走る添え字$\mu$で変換の種類を区別している。
$\epsilon_\mu$はそれらの変換ごとの無限小のパラメータで，$f_\mu^i$が具体的な変換の内容を表す。
例えば空間並進のみを考えるのであれば，無限小パラメータは添え字の要らない定数，変換関数は三次元空間で見たときの移動方向の単位ベクトル$\bm{e}$であるため，一般化座標を改めて粒子ごとの位置ベクトルにまとめることで
\begin{equation}
\bm{q}_a
\to
\bm{q}_a+\epsilon \bm{e},
\quad (a=1,2,...,N)
\end{equation}
と対応させられる。
さて，変換(\ref{eq:delq_gen})の下でLagrangianの変化は
\begin{equation}
\label{eq:Noether_delL}
\delta L
= \sum_\mu \ep^\mu
\left( \frac{\partial L}{\partial q^i} f_\mu^i
+ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \frac{df_\mu^i}{dt} \right)
\end{equation}
となる。
このとき，Lagrangianの変分が
\begin{equation}
\label{eq:Nother_dLdt}
\sum_\mu
\left(
\frac{\partial L}{\partial q^i} f_\mu^i
+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \frac{df_\mu^i}{dt}
\right)
=
\sum_\mu \frac{d\Lambda_\mu}{dt}
\end{equation}
の形をしていれば，変換による両端を固定した作用への寄与は
\begin{equation}
\delta S
=
\sum_\mu \epsilon_\mu
\int \frac{d\Lambda_\mu}{dt} dt =0
\end{equation}
と消えるため，系の力学的性質は不変に保たれる。
このとき，Euler-Lagrange方程式を用いることで，個々の$\mu$について(\ref{eq:Nother_dLdt})の左辺を
\begin{equation}
\left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} f_\mu^i
+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \frac{df_\mu^i}{dt} \right)
=
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} f_\mu^i \right)
\end{equation}
と全微分の形に変形できるため
\begin{equation}
\frac{d}{dt}J_\mu=0
\end{equation}
を満たす量
\begin{equation}
J_\mu
\equiv
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} f_\mu^i -\Lambda_\mu
\end{equation}
が存在することがわかる。
対称な変換に対応して存在するこの保存量$J_\mu$をNoetherカレント（Noether current）と呼ぶ。
