等速度運動と等加速度運動
Dr. SSS
2023/12/30 - 14:35:24
118
古典力学
自由な物体の運動
Newtonの運動方程式
\begin{equation}
m\frac{d^2\bm{x}}{dt^2}=\bm{F}
\end{equation}
の例として，物体が直線的な軌道を描く運動を考えよう。 まず最もシンプルな例として，物体が自由な場合，すなわち外力が働かない場合
\begin{equation}
m\frac{d^2\bm{x}}{dt^2}=0
\end{equation}
から始める。
この問題は，速度
\begin{equation}
\bm{v}=\frac{d\bm{x}}{dt}
\end{equation}
を用いて
\begin{equation}
\frac{d^2\bm{x}}{dt^2}
=\frac{d\bm{v}}{dt}=0
\end{equation}
と書き直せるから，速度が時間変化しないことを意味している。 つまり，物体の初速度を$\bm{v}_0$とすると
\begin{equation}
\frac{d\bm{x}}{dt}
=\bm{v}_0
\end{equation}
が成り立つ。 そして，これを積分すると
\begin{equation}
\int dt \frac{d\bm{x}}{dt}
=\bm{v}_0 \int dt
=\bm{v}_0t + \bm{x}_0
\end{equation}
となる。 ここで積分定数$\bm{x}_0$は$t=0$とした場合の物体の位置，すなわち初期位置である。 運動方程式の解を得て運動を決定するというのは，時間の関数としての位置，すなわち軌道を決定するということであり，この場合の解として
\begin{equation}
\bm{x}(t)
=\bm{v}_0t + \bm{x}_0
\end{equation}
が得られたことになる。 このように，速度一定の運動を等速度運動（constant velocity motion）や一様直線運動（uniform rectilinear motion）と呼ぶ。
一定の力が働く場合
今度は物体に一様で一定の力が働くようにする。 すると運動方程式は
\begin{equation}
\frac{d^2\bm{x}}{dt^2}=\frac{\bm{F}}{m}
\end{equation}
となり，質量$m$が一定であれば右辺全体は一定であるから
\begin{equation}
\label{eq:basic_uniform_acceleration}
\bm{a}
=\frac{d^2\bm{x}}{dt^2}
=\frac{d\bm{v}}{dt}
\end{equation}
が一定になる。 このような運動は，等加速度運動（uniformly accelerated motion）と呼ばれる。
(\ref{eq:basic_uniform_acceleration})を時間で積分すると
\begin{equation}
\bm{v}
=\bm{a}t+\bm{v}_0
\end{equation}
が得られ，再び積分することで
\begin{equation}
\label{eq:x_uniform_acceleration}
\bm{x}
=\frac{1}{2}\bm{a}t^2+\bm{v}_0t +\bm{x}_0
\end{equation}
が得られる。
参考文献
- Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (1963). The Feynman lectures on physics, Vol. I. Reading, Mass, Addison-Wesley Pub. Co..
――(1967). ファインマン物理学I 力学. 坪井忠二訳. 岩波書店. - 原島鮮. (2011). 質点の力学 [復刊]. 裳華房.
- 戸田 盛和. (1982). 物理入門コース1 力学. 岩波書店.