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    3. 古典力学

    等速度運動と等加速度運動

    Dr. SSS 2023/12/30 - 14:35:24 325 古典力学
    はじめに

    運動方程式の簡単な例として，力が働かない場合と，一様で一定の力が働く場合を考える。


    keywords: 等速度運動, 自由落下, 運動方程式, 等加速度運動

    自由な物体の運動

    Newtonの運動方程式

    \begin{equation} m\frac{d^2\bm{x}}{dt^2}=\bm{F} \end{equation}

    の例として，物体が直線的な軌道を描く運動を考えよう。 まず最もシンプルな例として，物体が自由な場合，すなわち外力が働かない場合

    \begin{equation} m\frac{d^2\bm{x}}{dt^2}=0 \end{equation}

    から始める。

    この問題は，速度

    \begin{equation} \bm{v}=\frac{d\bm{x}}{dt} \end{equation}

    を用いて

    \begin{equation} \frac{d^2\bm{x}}{dt^2} =\frac{d\bm{v}}{dt}=0 \end{equation}

    と書き直せるから，速度が時間変化しないことを意味している。 つまり，物体の初速度を$\bm{v}_0$とすると

    \begin{equation} \frac{d\bm{x}}{dt} =\bm{v}_0 \end{equation}

    が成り立つ。 そして，これを積分すると

    \begin{equation} \int dt \frac{d\bm{x}}{dt} =\bm{v}_0 \int dt =\bm{v}_0t + \bm{x}_0 \end{equation}

    となる。 ここで積分定数$\bm{x}_0$は$t=0$とした場合の物体の位置，すなわち初期位置である。 運動方程式の解を得て運動を決定するというのは，時間の関数としての位置，すなわち軌道を決定するということであり，この場合の解として

    \begin{equation} \bm{x}(t) =\bm{v}_0t + \bm{x}_0 \end{equation}

    が得られたことになる。 このように，速度一定の運動を等速度運動（constant velocity motion）や一様直線運動（uniform rectilinear motion）と呼ぶ。

    一定の力が働く場合

    今度は物体に一様で一定の力が働くようにする。 すると運動方程式は

    \begin{equation} \frac{d^2\bm{x}}{dt^2}=\frac{\bm{F}}{m} \end{equation}

    となり，質量$m$が一定であれば右辺全体は一定であるから

    \begin{equation} \label{eq:basic_uniform_acceleration} \bm{a} =\frac{d^2\bm{x}}{dt^2} =\frac{d\bm{v}}{dt} \end{equation}

    が一定になる。 このような運動は，等加速度運動（uniformly accelerated motion）と呼ばれる。

    (\ref{eq:basic_uniform_acceleration})を時間で積分すると

    \begin{equation} \bm{v} =\bm{a}t+\bm{v}_0 \end{equation}

    が得られ，再び積分することで

    \begin{equation} \label{eq:x_uniform_acceleration} \bm{x} =\frac{1}{2}\bm{a}t^2+\bm{v}_0t +\bm{x}_0 \end{equation}

    が得られる。

    参考文献