はじめに
Lagrangianから，変分原理によって単一荷電粒子の運動方程式を導く。
その後，一様で定常な電磁場を仮定した場合の解を示す。
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Lagrangian,
Lagrange力学,
Euler-Lagrange方程式,
運動方程式,
電磁気学,
サイクロトロン運動
内容
運動方程式の導出
単一荷電粒子のLagrangianは
\begin{equation}
L
=
\frac{1}{2}m
\left(\frac{d\bm{x}}{dt} \cdot \frac{d\bm{x}}{dt} \right)
-e\left[\phi(x(t),t) - \frac{d\bm{x}}{dt} \cdot \bm{A} (x(t),t)\right]
\end{equation}
で与えられる。
ここで$q$は電荷，$\phi$は静電ポテンシャル，$\bm{A}$はベクトルポテンシャルである。
成分（$j=1,2,3$）で表せば
\begin{equation}
L
=
\frac{1}{2}m \left( \frac{dx_j}{dt} \frac{dx^j}{dt} \right)
-q\left[ \phi(x(t),t) - \frac{dx^j}{dt} A_j (x(t),t) \right]
\end{equation}
となる。
上下繰り返しの添え字は和を取る。
これを，Euler-Lagrange方程式に入れると
\begin{align}
\frac{\pd L}{\pd x^i}
=&
-q\frac{\pd \phi}{\pd x^i} + q\frac{dx^j}{dt} \frac{\pd A_j}{\pd x^i} \\
%
\frac{d}{dt} \frac{\pd L}{\pd \left( \frac{dx^i}{dt} \right) }
=&
m\frac{d^2x_i}{dt^2}
+ q\frac{\pd A_i}{\pd t}
+ q\frac{\pd A_i}{\pd x^j} \frac{dx^j}{dt}
\end{align}
が釣り合うということなので，運動方程式としてLorentz力の式
\begin{align}
\notag
m \frac{d^2x_i}{dt^2}
=&
-q\frac{\pd \phi}{\pd x^i} -q\frac{\pd A_i}{\pd t}
+ q\frac{dx^j}{dt} \left( \frac{\pd A_j}{\pd x^i} -\frac{\pd A_i}{\pd x^j}\right) \\
\label{eq:motion_in_EB}
=&
q\left( E_i +\epsilon_{ijk} \frac{dx^j}{dt} B^k \right)
\end{align}
が得られる。ここで，$\epsilon_{ijk}$はLevi-Civita記号で
\begin{equation}
E_i = -\frac{\pd \phi}{\pd x^i} -\frac{\pd A_i}{\pd t},\quad B^k = \epsilon^{klm} \frac{\pd A_m}{\pd x^l}
\end{equation}
はそれぞれ電場と磁場である。また，(\ref{eq:motion_in_EB})で，$\delta_i^l \delta_j^m - \delta_i^m\delta_j^l =\epsilon_{ijk}\epsilon^{klm}$の関係を使った。
ベクトル表記では
\begin{equation}
\label{eq:motion_in_EB_vect}
m\frac{d^2\bm{x}}{dt^2}
= q\left( \bm{E}+\frac{d\bm{x}}{dt}\times\bm{B} \right)
\end{equation}
となる。
一様で定常な電磁場中の運動
一様で定常な電磁場中の運動を考える。
磁場の向きを$z$方向にとり，電場の向きは任意とする。
すなわち$\bm{B}=(0,0,B)$および$\bm{E}=(E_x,E_y,E_z)$とする。
このとき運動方程式(\ref{eq:motion_in_EB_vect})は
\begin{align}
\label{eq:motion_in_EB_x}
\frac{d v_x}{dt}
=&
\frac{q}{m} (E_x+v_y B)
=
\Omega \left(\frac{E_x}{B} + v_y\right)
\\
\label{eq:motion_in_EB_y}
\frac{d v_y}{dt}
=&
\frac{q}{m} (E_y-v_x B)
=
\Omega
\left(\frac{E_y}{B} -v_x\right) \\
\label{eq:motion_in_EB_z}
\frac{d v_y}{dt}
=&
\frac{q}{m}E_z
\end{align}
となる。
ここで，$\Omega=qB/m$である。
$z$方向の解は自明で
\begin{align}
v_z=&\frac{q}{m}E_z t +v_{z0}\\
z =&\frac{q}{2m}E_z t^2 + v_{z0}t + z_0
\end{align}
と磁力線に沿って電場に駆動される等加速度運動となる。
$z_0$および$v_{z0}$はそれぞれ初期位置と初期速度の$z$成分である。
磁力線に垂直な成分を調べるために，(\ref{eq:motion_in_EB_x})と(\ref{eq:motion_in_EB_y})をさらに時間で微分する。
すると
\begin{align}
\frac{d^2 v_x}{dt^2}
=&
\Omega\frac{dv_y}{dt}
\\
\frac{d^2 v_y}{dt^2}
=&
-\Omega
\frac{dv_x}{dt}
\end{align}
であり，これらに，それぞれ(\ref{eq:motion_in_EB_y})および(\ref{eq:motion_in_EB_x})を代入することで
\begin{align}
\frac{d^2 v_x}{dt^2}
=&
-\Omega^2 v_x
+\Omega^2\frac{E_y}{B}
\\
\frac{d^2 v_y}{dt^2}
=&
-\Omega^2 v_y
-\Omega^2\frac{E_x}{B}
\end{align}
を得る。
ここで，電磁場が定常であることを利用し，上式を
\begin{align}
\frac{d^2}{dt^2}
\left(
v_x-\frac{E_y}{B}
\right)
=&
-\Omega^2
\left(v_x
-\frac{E_y}{B}\right)
\\
\frac{d^2}{dt^2}
\left(
v_y+\frac{E_x}{B}
\right)
=&
-\Omega^2
\left(v_y+\frac{E_x}{B}\right)
\end{align}
と変形する。
左辺カッコ内をそれぞれ$v_x'$および$v_y'$とすれば，これらの解は直ちに
\begin{align}
v_x'=& v_\perp \cos(\Omega t+\theta_0) \\
v_y'=& -v_\perp \sin(\Omega t+\theta_0)
\end{align}
と得られる。
ここで$v_\perp$および$\theta_0$は積分定数である。
そしてこれらを，元の変数に戻すことで，垂直方向の速度が
\begin{align}
v_x=& v_\perp \cos(\Omega t+\theta_0) + \frac{E_y}{B}\\
v_y=& -v_\perp \sin(\Omega t+\theta_0) - \frac{E_x}{B}
\end{align}
と求まる。
最後に，これらを積分することで垂直方向の運動方程式の解
\begin{align}
x=& \frac{v_\perp}{\Omega} \sin(\Omega t+\theta_0) + \frac{E_y}{B}t + x_0\\
y=& \frac{v_\perp}{\Omega} \cos(\Omega t+\theta_0) - \frac{E_x}{B}t + y_0
\end{align}
を得る。
すなわち荷電粒子の磁力線に垂直な方向への運動は，半径
\begin{equation}
\rho_L \equiv \frac{v_\perp}{|\Omega|}
\end{equation}
周波数$\Omega$で磁力線周りを周回する運動と，ドリフト速度
\begin{equation}
\bm{v}_E
\equiv
\frac{\bm{E}\times\bm{B}}{B^2}
=
\left(
\frac{E_y}{B},-\frac{E_x}{B},0
\right)
\end{equation}
による等速運動の重ね合わせで与えられる。
周回運動の方は，サイクロトロン運動（cyclotron motion）やジャイロ運動（gyro motion）などと呼ばれ，周回半径$\rho_L$をサイクロトロン半径（cyclotron radius），ジャイロ半径（gyro radius）あるいはLarmor半径（Larmor radius）と，周波数$\Omega$をサイクロトロン周波数（cyclotron frequency）やジャイロ周波数（gyro frequency）と呼ぶ。
問題
Q. 以下の記述のうち，サイクロトロン運動の性質として正しいものを選べ。
- 電子と陽子では，周回方向が逆になる。
- 磁場が強いほど，サイクロトロン半径は大きくなる。
- 質量が大きい粒子ほど，サイクロトロン半径は小さくなる。
- 電場が存在しない場合，サイクロトロン運動は起きない。
