荷電粒子の運動方程式

Dr. SSS 2019/07/24 - 09:10:50 古典力学
はじめに

Lagrangianから,変分原理によって単一荷電粒子の運動方程式を導く。


keywords: 電磁気学, 運動方程式, Lagrange力学, Euler-Lagrange方程式, Lagrangian

内容

導出

単一荷電粒子のLagrangianは

\begin{align} L = \frac{1}{2}m \left( \frac{d\bm{x}}{dt} \cdot \frac{d\bm{x}}{dt} \right) -e\left[ \phi(x(t),t) - \frac{d\bm{x}}{dt} \cdot \bm{A} (x(t),t) \right] \end{align}

で与えられる。 ここで$e$は電荷,$\phi$は静電ポテンシャル,$\bm{A}$はベクトルポテンシャルである。成分($j=1,2,3$)で表せば

\begin{align} L = \frac{1}{2}m \left( \frac{dx_j}{dt} \frac{dx^j}{dt} \right) -e\left[ \phi(x(t),t) - \frac{dx^j}{dt} A_j (x(t),t) \right] \end{align}

となる。上下繰り返しの添え字は和を取る。これを,Euler-Lagrange方程式に入れると

\begin{align} \frac{\pd L}{\pd x^i} =& -e\frac{\pd \phi}{\pd x^i} + e\frac{dx^j}{dt} \frac{\pd A_j}{\pd x^i} \\ \frac{d}{dt} \frac{\pd L}{\pd \left( \frac{dx^i}{dt} \right) } =& m \frac{d^2x_i}{dt^2} + e\frac{\pd A_i}{\pd t} + e\frac{\pd A_i}{\pd x^j} \frac{dx^j}{dt} \end{align}

の項が釣り合うということなので,運動方程式としてLorentz力の式

\begin{align} \label{1} m \frac{d^2x_i}{dt^2} =& -e\frac{\pd \phi}{\pd x^i} -e\frac{\pd A_i}{\pd t} + e\frac{dx^j}{dt} \left( \frac{\pd A_j}{\pd x^i} -\frac{\pd A_i}{\pd x^j} \right) \\ \label{2} =& e\left( E_i +\epsilon_{ijk} \frac{dx^j}{dt} B^k \right) \end{align}

が得られる。ここで,$\epsilon_{ijk}$はLevi-Civita記号で

\begin{align} E_i = -\frac{\pd \phi}{\pd x^i} -\frac{\pd A_i}{\pd t},\ B^k = \epsilon^{klm} \frac{\pd A_m}{\pd x^l} \end{align}

はそれぞれ電場と磁場である。また,(\ref{1})から(\ref{2})の変形で,$\delta_i^l \delta_j^m - \delta_i^m\delta_j^l =\epsilon_{ijk}\epsilon^{klm}$の関係を使った。 ベクトル表記では

\begin{align} m\frac{d^2\bm{x}}{dt^2} = e\left( \bm{E}+\frac{d\bm{x}}{dt}\times\bm{B} \right) \end{align}

となる。


参考文献


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