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Galilei変換
ある慣性系$I$と，それに対し一定の速度$\bm{V}$で運動する別の基準系$I'$から見た物体の運動の関係を考える。 もし，$I$系から見て物体が原点に静止していたなら，その座標は$\bm{x}(t)=0$である。 対して，$I'$系から見た座標$\bm{x}'$は，速度$\bm{V}$で遠ざかっていくように見えるから，$\bm{x}'(t)=-\bm{V}t$となる。 これは任意の運動に一般化できるから，$I$系の座標$\bm{x}$から，$I'$系の座標$\bm{x}'$への変換は
\begin{equation}
\label{eq:Galilean_transform}
\bm{x}(t)
=
\bm{x}'(t)+\bm{V}t
\end{equation}
で与えられる。
$I'$系における運動方程式を導くために(\ref{eq:Galilean_transform})を時間で二回微分すると，$d\bm{V}/dt=0$であるから
\begin{equation}
\frac{d^2\bm{x}}{dt^2}
=
\frac{d^2\bm{x}'}{dt^2}
\end{equation}
となる。 すなわち，$I$系と$I'$系で運動方程式は変わらない。
このように，ある慣性系に対し，等速直線運動する別の基準系もまた慣性系であり，その中で運動法則は同一である。 これを，Galileiの相対性原理（principle of Galilean relativity）と呼ぶ。 また，異なる慣性系同士を結び付ける変換(\ref{eq:Galilean_transform})をGalilei変換（Galilean transformation）という。 (\ref{eq:Galilean_transform})は，暗に時間の流れが不変であることを仮定して導かれているから，その前提が自明ではない場合には，それを陽に表した
\begin{equation}
t=t'
\end{equation}
を含めてGalilei変換と呼ぶ方が適切なこともある。
References
――(1986). 力学 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程). 広重 徹, 水戸 巌 訳. 東京図書.