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Schrodinger方程式の一般解
Hamiltonianが時間に依存しない場合を考える。 これまでの議論をおさらいすると，Schrodinger方程式の解は定常状態の固有関数$\phi(x)$を用いて
\begin{equation}
\psi(x,t)
=
\sum_n c_n(t)\phi_n(x)
\end{equation}
と展開できる。 これをSchrodinger方程式に入れることで
\begin{equation}
i\hbar \sum_n
\frac{dc_n(t)}{dt}\phi_n
=
\sum_n c_n(t)\hat{H}\phi_n
=
\sum_n c_n(t)E_n\phi_n
\end{equation}
を介して
\begin{equation}
c_n(t)
=c_n(0)e^{-(i/\hbar)E_n t}
\end{equation}
を得る。 したがってSchrodinger方程式の一般解は
\begin{equation}
\label{eq:schrodinger_eq_general_solution_Hhat}
\psi(x,t)
=
\sum_n
c_n(0)e^{-(i/\hbar)E_n t}\phi_n(x)
\end{equation}
と置ける。
時間推進演算子
ここで，ユニタリ演算子
\begin{equation}
\hat{U}
=
e^{-i\hat{H}t/\hbar}
\end{equation}
を定義する。 演算子を含む指数関数は
\begin{equation}
\label{eq:exp_Hhat}
\begin{split}
e^{-i\hat{H}t/\hbar}
=&
1
+\frac{1}{1!}
\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t\right)
+\frac{1}{2!}
\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t\right)^2
+
\cdots
+\frac{1}{k!}
\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t\right)^k
+
\cdots \\
=&
\sum_n
\frac{1}{n!}
\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t\right)^n
\end{split}
\end{equation}
で定義されている。 これを任意の$\hat{H}$固有関数に作用すると
\begin{equation}
\begin{split}
e^{-i\hat{H}t/\hbar}\psi_n
=&
\left[
1
+\frac{1}{1!}
\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t\right)
+\frac{1}{2!}
\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t\right)^2
+
\cdots
+\frac{1}{k!}
\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t\right)^k
+
\cdots
\right]\psi_n \\
=&
\left[
1
+\frac{1}{1!}
\left(-\frac{i}{\hbar}E_nt\right)
+\frac{1}{2!}
\left(-\frac{i}{\hbar}E_nt\right)^2
+
\cdots
+\frac{1}{k!}
\left(-\frac{i}{\hbar}E_nt\right)^k
+
\cdots
\right]\psi_n \\
=&
e^{-(i/\hbar)E_n t}\psi_n
\end{split}
\end{equation}
となる。 よって(\ref{eq:schrodinger_eq_general_solution_Hhat})は
\begin{equation}
\psi(x,t)
=
\hat{U}
\sum_n
c_n(0)\phi_n(x)
=
\hat{U}\psi(x,0)
\end{equation}
と表せる。 ここで初期状態
\begin{equation}
\psi(x,0)
=
\sum_n c_n(0)\phi(x)
\end{equation}
を定義した。 すなわち演算子$\hat{U}$は，時刻$t=0$の状態を任意の時刻$t$の状態に変換する演算子である。 したがって$\hat{U}$は，時間推進演算子（time evolution operator）と呼ばれる。
References
――(1983). 量子力学―非相対論的理論 1 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程). 佐々木健 & 好村滋洋 訳. 東京図書.