運動量演算子の固有関数
運動量演算子の固有関数は，方程式
\begin{equation}
-i\hbar\nabla \psi
=\bm{p}\psi
\end{equation}
の解であるから
\begin{equation}
\psi
=
Ce^{i\bm{p}\cdot\bm{x}/\hbar}
\end{equation}
の形を持つ。
定数$C$や固有値の性質は，境界条件から定められるが，まず，周期的境界条件を持つ有限な1次元領域$-L/2 < x < L/2$の場合を考える。
このとき，境界条件より
\begin{equation}
e^{ip(x+L)/\hbar}
=
e^{ipx/\hbar}
\end{equation}
を満たすから，運動量は，離散的な
\begin{equation}
\label{eq:momentum_wavenumber}
\frac{p}{\hbar}
=
k
=
\frac{2\pi}{L}n
\end{equation}
の形に制限される。
$k$は波数で，$n$は整数である。
つまり，この場合の運動量固有値は，離散的なスペクトルを構成する。
また，この場合の$n$のように，量子的な状態を区別する数を一般に，量子数（quantum number）と呼ぶ。
規格化定数は
\begin{equation}
1
=
\int_{-L/2}^{L/2}|\psi|^2 dx
=
|C|^2\int_{-L/2}^{L/2} dx
=
|C|^2L
\end{equation}
より
\begin{equation}
C
=
\frac{1}{\sqrt{L}}
\end{equation}
と決まる。
よって，固有値$p$に属する規格化された固有関数は
\begin{equation}
\psi_p
=
\frac{1}{\sqrt{L}}e^{ipx/\hbar}
\end{equation}
あるいは波数$k$で表せば
\begin{equation}
\psi_k
=
\frac{1}{\sqrt{L}}e^{ikx}
\end{equation}
である。
Fourie級数展開とFourier変換
任意の波動関数$\psi(x)$は，運動量演算子の固有関数系を用いて
\begin{equation}
\psi(x)
=
\sum_k c_k \psi_k(x)
=
\frac{1}{\sqrt{L}}
\sum_k c_k e^{ikx}
\end{equation}
となる。
これは$\psi(x)$のFourier級数展開に他ならない。
この逆変換は
\begin{equation}
\label{eq:fourier_component_k}
c_k
=
\frac{1}{\sqrt{L}}
\int_{-L/2}^{L/2}
e^{-ikx} \psi(x)dx
\end{equation}
である。
(\ref{eq:momentum_wavenumber})より，離散的な場合の運動量の間隔は$\Delta p=2\pi\hbar/L$である。
そこで，(\ref{eq:fourier_component_k})に$\sqrt{L/2\pi\hbar}$をかけたもの
\begin{equation}
\label{eq:phi_discrete_p}
\phi_p
\equiv
\sqrt{\frac{L}{2\pi\hbar}}
c_k
=
\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}
\int_{-L/2}^{L/2}
e^{-ipx/\hbar} \psi(x)dx
\end{equation}
を定義すれば
\begin{equation}
1
=\sum_k|c_k|^2
=\sum_p |\phi_p|^2\Delta p
\end{equation}
が成り立つ。
(\ref{eq:phi_discrete_p})はまた，$L\to\infty$とした連続的極限で
\begin{equation}
\label{eq:inverse_fourier_phi_p}
\phi(p)
=
\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}
\int_{-\infty}^{\infty}
e^{-ipx/\hbar} \psi(x)dx
\end{equation}
となり，規格化の関係は
\begin{equation}
\label{eq:normalize_condition_p}
1
=
\int_{-\infty}^\infty |\phi(p)|^2 dp
\end{equation}
となる。
(\ref{eq:inverse_fourier_phi_p})は，Fourie変換
\begin{equation}
\psi(x)
=
\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}
\int_{-\infty}^{\infty}
e^{ipx/\hbar} \phi(p)dp
\end{equation}
の係数になっている。
運動量表示
これまでの結果を3次元に一般化すると
\begin{equation}
\psi(\bm{x})
=
\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}
\int_{-\infty}^{\infty}
e^{i\bm{p}\cdot\bm{x}/\hbar} \phi(\bm{p})d^3x
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:inverse_fourier_phi_p_3d}
\phi(p)
=
\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}
\int_{-\infty}^{\infty}
e^{-i\bm{p}\cdot\bm{x}/\hbar} \psi(\bm{x})d^3p
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:normalize_condition_p_3d}
1
=
\int_{-\infty}^\infty |\phi(\bm{p})|^2 d^3p
\end{equation}
となる。
$|\phi(\bm{p})|^2d^3p$は運動量が$\bm{p}$から$\bm{p}+d\bm{p}$の間に見いだされる確率を表しており，関係(\ref{eq:normalize_condition_p_3d})は，波動関数が$\int \psi(\bm{x})d^3x=1$と実空間で規格化されていれば，そのFourier変換$\phi(\bm{p})$は，運動量空間$\int |\phi(\bm{p})|^2d^3p=1$と規格化されていることを表している。
$\psi(\bm{x})$を波動関数の位置表示（position representation）や座標表示（coordinate representation）と呼ぶのに対し，$\phi(\bm{p})$を，運動量表示（momentum representation）と呼ぶ。
位置表示では，位置演算子の作用は単に$x$を乗じるだけであったのに対し，運動量表示では，微分演算子
\begin{equation}
\hat{\bm{x}}
=
i\hbar \nabla
\end{equation}
の形を取る。
対して，運動量表示では，運動量演算子はその固有値を乗じるだけになる。
